Question

16．已知函數(shù)$f（x）=（1-k）x+\frac{1}{e^x}$．
（Ⅰ）如果f（x）在x=0處取得極值，求k的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（III）當(dāng)k=0時(shí)，過點(diǎn)A（0，t）存在函數(shù)曲線f（x）的切線，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和極值的關(guān)系即可求出k的值，
（Ⅱ）先求導(dǎo)，再分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可求出單調(diào)區(qū)間，
（Ⅲ）切點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及導(dǎo)數(shù)和最值得關(guān)系即可求出．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)镽，
∴$f'（x）=\frac{{（1-k）{e^x}-1}}{e^x}$
∵函數(shù)f（x）在x=0處取得極值
∴$f'（0）=\frac{{（1-k）{e^0}-1}}{e^0}=0$，解得：k=0
當(dāng)k=0時(shí)，$f'（x）=\frac{{{e^x}-1}}{e^x}$，$f'（x）=\frac{{{e^x}-1}}{e^x}＞0⇒x＞0，f'（x）=\frac{{{e^x}-1}}{e^x}＜0⇒x＜0$，
∴函數(shù)f（x）在x=0處取得極小值，符合題意．
（Ⅱ）因?yàn)?f'（x）=\frac{{（1-k）{e^x}-1}}{e^x}$．
①當(dāng)k≥1時(shí)，f'（x）＜0恒成立，所以f（x）在（-∞，+∞）為減函數(shù)
②當(dāng)k＜1時(shí)，令f'（x）=0，則x=-ln（1-k），
當(dāng)x∈（-∞，-ln（1-k））時(shí)，f'（x）＜0，f（x）在（-∞，-ln（1-k））上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（-ln（1-k），+∞）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）在（-ln（1-k），+∞）上單調(diào)遞增；
（III）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），
則切線方程為y-y₀=f'（x₀）（x-x₀）
即$y-（{x_0}+\frac{1}{{{e^{x_0}}}}）=（1-\frac{1}{{{e^{x_0}}}}）（x-{x_0}）$
將A（0，t）代入得$t=\frac{{{x_0}+1}}{{{e^{x_0}}}}$．
令$M（x）=\frac{x+1}{e^x}$，所以 $M'（x）=\frac{-x}{e^x}$．
當(dāng)$M'（x）=\frac{-x}{e^x}=0$時(shí)，x₀=0．
所以 當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，M'（x）＞0，函數(shù)M（x）在x∈（-∞，0）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，M'（x）＜0，M（x）在x∈（0，+∞）上單調(diào)遞減．
所以 當(dāng)x₀=0時(shí)，M（x）_max=M（0）=1，無最小值．
當(dāng)t≤1時(shí)，存在切線．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)在函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及函數(shù)的最值求解中的應(yīng)用，屬于難題．