Question

【題目】已知函數(shù)在（為自然對(duì)數(shù)的底）時(shí)取得極值且有兩個(gè)零點(diǎn)．

（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）記函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為，證明：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】

試題分析：（1） 在時(shí)取得極值,由的符號(hào)及函數(shù)的單調(diào)性可知為函數(shù)的極大值，所以有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于 ，解之即可；（2） 不妨設(shè)，由題意知，兩式相加可得即，欲證，只需證明：，只需證明：，即證即可，設(shè)，則只需證明：,構(gòu)造函數(shù)，證即可.

試題解析： （1），

由，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以在時(shí)取得極值，所以，

所以，函數(shù)在上遞增，在上遞減，，

時(shí)，時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，

故；．

（2）不妨設(shè)，由題意知，

則，

欲證，只需證明：，只需證明：，

即證：，

即證，設(shè)，則只需證明：，

也就是證明：，

記，∴，

∴在單調(diào)遞增，

∴，所以原不等式成立，故得證．