【題目】自貢某個(gè)工廠于2016年下半年對(duì)生產(chǎn)工藝進(jìn)行了改造(每半年為一個(gè)生產(chǎn)周期),從2016年一年的產(chǎn)品中用隨機(jī)抽樣的方法抽取了容量為50的樣本,用莖葉圖表示如圖所示,已知每個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)與其中位數(shù)誤差在±5范圍內(nèi)(含±5)的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品,與中位數(shù)誤差在±15范圍內(nèi)(含±15)的產(chǎn)品為合格品(不包括優(yōu)質(zhì)品),與中位數(shù)誤差超過±15的產(chǎn)品為次品.企業(yè)生產(chǎn)一件優(yōu)質(zhì)品可獲利潤(rùn)20元,生產(chǎn)一件合格品可獲利潤(rùn)10元,生產(chǎn)一件次品要虧損10元.
(Ⅰ)求該企業(yè)2016年一年生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤(rùn)的分布列和期望;
(Ⅱ)是否有95%的把握認(rèn)為“優(yōu)質(zhì)品與生產(chǎn)工藝改造有關(guān)”.
附:
P(K2≥k) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
K2= .
【答案】解:(Ⅰ)上半年的數(shù)據(jù)為:13,14,18,21,22,26,27,29,31,34,35,35,35,38, 42,43,45,46,46,53,54,57,58,61,62;
“中位數(shù)”為35,優(yōu)質(zhì)品有6個(gè),合格品有10個(gè),次品有9個(gè);
下半年的數(shù)據(jù)為:13,18,20,24,24,28,29,30,31,32,33,33,35,36,37,
40,41,42,42,43,47,49,51,58,62;
“中位數(shù)”為35,優(yōu)質(zhì)品有9個(gè),合格品有11個(gè),次品有5個(gè);
則這個(gè)樣本的50件產(chǎn)品的利潤(rùn)的頻率分布表為
利潤(rùn) | 頻數(shù) | 頻率 |
20 | 15 | 0.3 |
10 | 21 | 0.42 |
﹣10 | 14 | 0.28 |
所以,該企業(yè)2016年一年生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤(rùn)的分布列為
頻率 | 利潤(rùn) | |
優(yōu)質(zhì)品 | 0.3 | 6 |
合格品 | 0.42 | 4.2 |
次品 | 0.28 | ﹣2.8 |
期望值為6+4.2﹣2.8=7.4;
(Ⅱ)由題意,填寫2×2列聯(lián)表如下;
上半年 | 下半年 | ||
優(yōu)質(zhì)品 | 6 | 9 | 15 |
非優(yōu)質(zhì)品 | 19 | 16 | 35 |
25 | 25 | 50 |
計(jì)算觀測(cè)值K2= ≈0.857,
由于0.857<3.841,
所以沒有95%的把握認(rèn)為“優(yōu)質(zhì)品與生產(chǎn)工藝改造有關(guān)”.
【解析】(Ⅰ)根據(jù)上半年和下半年的數(shù)據(jù),得出這50件產(chǎn)品的利潤(rùn)頻率分布表,寫出生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤(rùn)分布列,計(jì)算期望值;(Ⅱ)填寫2×2列聯(lián)表,計(jì)算觀測(cè)值K2 , 比較臨界值得出結(jié)論.
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(1)求;
(2)記△FMM1、△FM1N1、△FNN1的面積分別為、、,求
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(Ⅱ)設(shè)bn= ,Tn為{bn}的前n項(xiàng)和,求T2n .
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(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)設(shè)g(x)=x2﹣(1﹣a)x,當(dāng)a≤﹣1時(shí),討論f(x)與g(x)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù).
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A.(0, )
B.(0, )
C.( , )
D.( , )
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(Ⅱ)證明:f(x)≥2 .
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A. B. C. D.
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