Question

定義函數(shù)為的階函數(shù).
（1）求一階函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）討論方程的解的個(gè)數(shù)；
（3）求證：.

Answer 1

（1）當(dāng)時(shí),無(wú)單調(diào)區(qū)間；
當(dāng)時(shí),的單增區(qū)間為單減區(qū)間為；
當(dāng)時(shí),的單增區(qū)間為,單減區(qū)間為；
（2）當(dāng)時(shí),方程有兩個(gè)不同解.當(dāng)時(shí),方程有0個(gè)解.當(dāng)或時(shí),方程有唯一；
（3）詳見(jiàn)解析.

解析試題分析：(1)求導(dǎo)，對(duì)分情況討論；
(2)研究方程的解的個(gè)數(shù)，實(shí)質(zhì)就是研究函數(shù)的圖象.通過(guò)求導(dǎo)，弄清函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及函數(shù)值的范圍，結(jié)合圖象即可知道方程的解的個(gè)數(shù).
(3)待證不等式
可變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/66/b/1vs7s4.png" style="vertical-align:middle;" />，左右對(duì)照，考慮證：

再聯(lián)系到本題所給函數(shù)，可令，且研究的3階函數(shù)，即.
.由得
則在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.
即.又時(shí),
再令即得證.
試題解析：(1),
令,當(dāng)時(shí),
當(dāng)時(shí),無(wú)單調(diào)區(qū)間；
當(dāng)時(shí),的單增區(qū)間為單減區(qū)間為.
當(dāng)時(shí),的單增區(qū)間為,單減區(qū)間為.4分.
(2)由當(dāng)時(shí),方程無(wú)解.當(dāng)時(shí),
令則由得
從而在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.
當(dāng)時(shí),，當(dāng)
當(dāng),即時(shí),方程有兩個(gè)不同解.
當(dāng),即時(shí),方程有0個(gè)解
當(dāng),或即或時(shí),方程有唯一解.
綜上,當(dāng)時(shí),方程有兩個(gè)不同解.當(dāng)時(shí),方程有0個(gè)解.當(dāng)或時(shí),方程有唯一解. 9分.
(3)特別地：當(dāng)時(shí)由得.
由得
則在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.