Question

5．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥平面BCC₁B₁，$∠BC{C_1}=\frac{π}{3}，AB=B{B_1}=2，BC=1，D$為CC₁的中點(diǎn)．
（1）求證：DB₁⊥平面ABD；
（2）求點(diǎn)A₁到平面ADB₁的距離．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出B₁D⊥BD，AB⊥DB₁，由此能證明DB₁⊥平面ABD．
（2）對于四面體A₁-ADB₁，A₁到直線DB₁的距離即A₁到面BB₁C₁C的距離，設(shè)A₁到面B₁D的距離為h，由${V}_{{A}_{1}-AD{B}_{1}}$=${V}_{D-A{A}_{1}{B}_{1}}$，能求出點(diǎn)A₁到平面ADB₁的距離．

解答 證明：（1）在平面四邊形BCC₁B₁中，
∵BC=CD=DC₁=1，∠BCD=60°，∴BD=1，
∵B₁D=$\sqrt{3}$，BB₁=2，∴∠BDB₁=90°，∴B₁D⊥BD，
∵AB⊥面BB₁C₁C，∴AB⊥DB₁，
∴B₁D與平面ABD內(nèi)兩相交直線AB和BD同時(shí)垂直，
∴DB₁⊥平面ABD．
解：（2）對于四面體A₁-ADB₁，A₁到直線DB₁的距離即A₁到面BB₁C₁C的距離，
A₁到B₁D的距離為2，
設(shè)A₁到面B₁D的距離為h，
△ADB₁為直角三角形，${S}_{△AD{B}_{1}}$=$\frac{1}{2}×AD×D{B}_{1}$=$\frac{1}{2}×\sqrt{5}×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{15}}{2}$，
∴${V}_{{A}_{1}-AD{B}_{1}}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{15}}{2}×h=\frac{\sqrt{15}}{6}h$，
∵${S}_{△A{A}_{1}{B}_{1}}$=$\frac{1}{2}×2×2$=2，D到平面AA₁B₁的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴${V}_{D-A{A}_{1}{B}_{1}}$=$\frac{1}{3}×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵${V}_{{A}_{1}-AD{B}_{1}}$=${V}_{D-A{A}_{1}{B}_{1}}$，∴$\frac{\sqrt{15}h}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得h=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴點(diǎn)A₁到平面ADB₁的距離為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查線面垂直的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．