Question

10．在三棱錐P-ABC中，PA，PB，PC兩兩互相垂直，且AB=4，AC=5，則BC的取值范圍是（3，$\sqrt{41}$）．

Answer 1

分析 如圖設(shè)PA、PB、PC的長(zhǎng)分別為a、b、c，BC=m．由PA，PB，PC兩兩互相垂直，得a²+b²=16，a²+c²=25，
b²+c²=m²⇒m²=41-2a²，且a²＜16，a²＜25⇒-2a²＞-32，⇒-2a²＞-50⇒⇒-2a²＞-32⇒m²=41-2a²＞9
在△ABC中，$\left\{\begin{array}{l}{m＜5+4}\\{4＜5+m}\\{5＜4+m}\end{array}\right.$⇒3＜m＜$\sqrt{41}$．

解答 解：如圖設(shè)PA、PB、PC的長(zhǎng)分別為a、b、c，BC=m．∵PA，PB，PC兩兩互相垂直，
∴a²+b²=16，a²+c²=25，b²+c²=m²⇒m²=41-2a²，
且a²＜16，a²＜25⇒-2a²＞-32，⇒-2a²＞-50⇒⇒-2a²＞-32⇒m²=41-2a²＞9
⇒m＞3
在△ABC中，$\left\{\begin{array}{l}{m＜5+4}\\{4＜5+m}\\{5＜4+m}\end{array}\right.$⇒3＜m＜$\sqrt{41}$
故答案為（3，$\sqrt{41}$）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間位置關(guān)系，關(guān)鍵是把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，屬于中檔題．