Question

14．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，Q是AD的中點．
（1）若PA=PD，求證：平面PQB⊥平面PAD；
（2）若平面APD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，點M在線段PC上且滿足PC=3PM，求二面角M-BQ-C的大�。�

Answer 1

分析 （1）推導出PQ⊥AD，∴BQ⊥AD，從而AD⊥平面PBQ，由此能證明平面PQB⊥平面PAD．
（2）以Q為原點，QA為x軸，QB為y軸，QP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角M-BQ-C的大小．

解答 證明：（1）∵在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，
∠BAD=60°，Q是AD的中點．
PA=PD，
∴BD=AD=AB，PQ⊥AD，∴BQ⊥AD，
∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ，
∵AD?平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．
解：（2）∵平面APD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，點M在線段PC上且滿足PC=3PM，
∴以Q為原點，QA為x軸，QB為y軸，QP為z軸，建立空間直角坐標系，
Q（0，0，0），B（0，$\sqrt{3}$，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），C（-2，$\sqrt{3}$，0），M（-$\frac{2}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
$\overrightarrow{QB}$=（0，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{QM}$=（-$\frac{2}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
設平面BQM的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{QB}=\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{QM}=-\frac{2}{3}x+\frac{\sqrt{3}}{3}y+\frac{2\sqrt{3}}{3}z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，0，1$），
平面BQC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
設二面角M-BQ-C的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{2}$，θ=60°，
∴二面角M-BQ-C的大小為60°．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查二面角的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．