Question

4．如圖（1），五邊形ABCDE中，ED=EA，AB∥CD，CD=2AB，∠EDC=150°．如圖（2），將△EAD沿AD折到
△PAD的位置，得到四棱錐P-ABCD．點(diǎn)M為線段PC的中點(diǎn)，且BM⊥平面PCD．

（Ⅰ）求證：平面PAD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若四棱錐P-ABCD的體積為2$\sqrt{3}$，求四面體BCDM的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PD的中點(diǎn)N，連結(jié)AN、MN，推導(dǎo)出四邊形ABMN是平行四邊形，從而AN∥BM，推導(dǎo)出AN⊥平面PCD，從而AN⊥PD，AN⊥CD，再求出CD⊥AD，從而CD⊥平面PAD，由此能證明平面PAD⊥平面ABCD．
（Ⅱ）設(shè)四棱錐P-ABCD的高為h，四邊形ABCD的面積為S，由${S}_{△BCD}=\frac{2}{3}S$，四面體BCDM的底面BCD上的高為$\frac{h}{2}$，能求出四面體BCDM的體積．

解答 證明：（Ⅰ）取PD的中點(diǎn)N，連結(jié)AN、MN，
則MN∥CD，且MN=$\frac{1}{2}$CD，
又AB∥CD，AB=$\frac{1}{2}$CD，
∴MN∥AB，MN=AB，
∴四邊形ABMN是平行四邊形，
∴AN∥BM，
又BM⊥面PCD，∴AN⊥平面PCD，
∴AN⊥PD，AN⊥CD，
由ED=EA，即PD=PA，及N為PD的中點(diǎn)，
得△PAD為等邊三角形，∴∠PDA=60°，
又∠EDC=150°，∴∠CDA=90°，
∴CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，
又∵CD?平面ABCD，
∴平面PAD⊥平面ABCD．
解：（Ⅱ）設(shè)四棱錐P-ABCD的高為h，四邊形ABCD的面積為S，
則${V}_{P-ABCD}=\frac{1}{3}hs=2\sqrt{3}$，
又${S}_{△BCD}=\frac{2}{3}S$，四面體BCDM的底面BCD上的高為$\frac{h}{2}$，
∴四面體BCDM的體積：
V_BCDM=$\frac{1}{3}×\frac{h}{2}×{S}_{△BCD}$=$\frac{1}{6}×\frac{2}{3}sh$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的證明，考查幾何體的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、是中檔題．