Question

15．已知點(diǎn)P是橢圓$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$在第一象限上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P引圓x²+y²=4的兩條切線PA、PB，切點(diǎn)分別是A、B，直線AB與x軸、y軸分別交于點(diǎn)M、N，則△OMN面積的最小值為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），由圓的切線方程可得PA、PB的方程，而PA、PB交于P（x₀，y₀），由此能求出AB的直線方程，從而可得三角形的面積，利用基本不等式可求最值．

解答 解：根據(jù)題意，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），
PA是圓的切線且切點(diǎn)為A，則PA的方程為x₁x+y₁y=4，
同理PB的方程為x₂x+y₂y=4，
又由PA、PB交與點(diǎn)P，則有x₁x₀+y₁y₀=4，x₂x₀+y₂y₀=4，
則直線AB的方程為x₀x+y₀y=4，
則M的坐標(biāo)為（$\frac{4}{{x}_{0}}$，0），N的坐標(biāo)為（0，$\frac{4}{{y}_{0}}$），
S_△OMN=$\frac{1}{2}$|OM||ON|=$\frac{8}{|{x}_{0}{y}_{0}|}$，
又由點(diǎn)P是橢圓$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$在第一象限上的動(dòng)點(diǎn)，則有$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{8}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$=1，
則有1=$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{8}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$≥2$\sqrt{\frac{{{x}_{0}}^{2}}{8}×\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}}$=$\frac{\sqrt{2}}{8}$|x₀y₀|，即|x₀y₀|≤4$\sqrt{2}$，
S_△OMN=$\frac{1}{2}$|OM||ON||=$\frac{8}{|{x}_{0}{y}_{0}|}$≥$\sqrt{2}$，
即△OMN面積的最小值為$\sqrt{2}$；
故答案為：$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，涉及直線與圓的切線方程，關(guān)鍵是由圓的切線方程分析得到直線AB的方程．