Question

【題目】已知拋物線的焦點為橢圓的右焦點，且橢圓長軸的長為4，、是橢圓上的兩點；

（1）求橢圓標準方程；

（2）若直線經過點，且，求直線的方程；

（3）若動點滿足：，直線與的斜率之積為，是否存在兩個定點、，使得為定值？若存在，求出、的坐標；若不存在，請說明理由；

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，；

【解析】

（1）根據拋物線的焦點為橢圓的右焦點，且橢圓的長軸長為4，求出，，即可求得橢圓標準方程；

（2）設直線的方程為，，、，，將數(shù)量積坐標化，得到關于的方程；

（3）將坐標化，利用直線與的斜率之積為，可計算，從而可知存在兩個定點，使得為定值．

（1）拋物線的焦點為，，

橢圓中的，

又由橢圓的長軸為4得，

橢圓的標準方程為：

（2）設直線的方程為，，、，，

將直線方程代入橢圓方程得：，

所以，

所以，

因為，所以，

所以，

所以，解得：，

所以直線方程為：.

（3）設，，、，，

由，可得：，，，

，，

、是橢圓上的點，，．

．

由直線與的斜率之積為，可得：，

即，

，即.

由橢圓定義可知存在兩個定點，使得動點到兩定點距離和為定值；