Question

已知二次函數y=f（x）的兩個零點為0，1，且其圖象的頂點恰好在函數y=log₂x的圖象上．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數f（x）當x∈[0，2]時的最大值和最小值．

Answer 1

考點：對數函數的圖像與性質,二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）設f（x）=ax（x-1），由頂點(

1

2

，-

a

4

)在函數y=log₂x的圖象上，能求出f（x）=4x²-4x．
（Ⅱ）由f（x）=4x²-4x=4（x-

1

2

）²-1，能求出函數f（x）當x∈[0，2]時的最大值和最小值．

解答： 解：（Ⅰ）設f（x）=ax（x-1）（a≠0），
頂點坐標為(

1

2

，-

a

4

)，…（4分）
∵頂點在函數y=log₂x的圖象上，
∴-

a

4

=log2

1

2

，解得a=4，
∴f（x）=4x²-4x．…（8分）
（Ⅱ）∵f（x）=4x²-4x=4（x-

1

2

）²-1，

1

2

∈[0，2]，且|0-

1

2

|＜|2-

1

2

|，
∴ymin=f(

1

2

)=-1，ymax=f(2)=8，
∴函數f（x）當x∈[0，2]時的最大值是8，最小值是-1．…（12分）

點評：本題考查函數的解析式的求法，考查函數的最大值和最小值的求法，解題時要認真審題，注意配方法的合理運用．