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已知函數f（x）=cos（2x-
π
3
）+2sin2x，
（1）求函數f（x）的最大值和最小正周期；
（2）若α為銳角，且f（
α
2
）=
3
4
，求sinα的值．
考點：三角函數中的恒等變換應用,三角函數的周期性及其求法
專題：三角函數的圖像與性質
分析：（1）首先，借助于二倍角公式化簡函數解析式，f（x）═sin(2x-
π
6
)+1，然后，根據三角函數的圖象和性質求解；
（2）根據f（
α
2
）=
3
4
，得到sin(α-
π
6
)=-
1
4
，然后，結合α為銳角，求解cos(α-
π
6
)=
15
4
，最后，結合α=（α-
π
6
）+
π
6
，求解sinα的值．
解答： 解：（1）∵f(x)=cos(2x-
π
3
)+2sin2x
=cos2x•cos
π
3
+sin2x•sin
π
3
+(1-cos2x)
=
1
2
cos2x+
3
2
sin2x+1-cos2x
=
3
2
sin2x-
1
2
cos2x+1
=sin(2x-
π
6
)+1
∴f（x）的最大值為2，最小正周期為π．    
（2）由f(
α
2
)=sin(α-
π
6
)+1=
3
4
得
sin(α-
π
6
)=-
1
4
，
∵0＜α＜
π
2
，
∴-
π
6
＜α-
π
6
＜
π
3
，
∴cos(α-
π
6
)=
15
4
，
∴sinα=sin[(α-
π
6
)+
π
6
]=sin(α-
π
6
)cos
π
6
+cos(α-
π
6
)sin
π
6

=
15
-
3
8
．
∴sinα的值
15
-
3
8
．
點評：本題重點考查了二倍角公式、兩角和與差的三角公式、角的靈活拆分等知識，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

若函數f）=2cos2x+
3
sin2x+a（a∈R）
（1）求函數f（x）的周期及對稱軸方程；
（2）若函數f（x）在區(qū)間[0，
π
2
]上的最小值為5，求函數f（x）在[0，
π
2
]區(qū)間上的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

有一個3×4×5的長方體，它的六個面上均涂上顏色．現將這個長方體鋸成60個1×1×1的小正方體，從這些小正方體中隨機地任取1個．
（1）求小正方體各面沒有涂色的概率．
（2）求小正方體有2面或3面涂色的概率．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知二次函數y=f（x）的兩個零點為0，1，且其圖象的頂點恰好在函數y=log2x的圖象上．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數f（x）當x∈[0，2]時的最大值和最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知復數-1+3i、cosα+isinα（0＜α＜
π
2
，i是虛數單位）在復平面上對應的點依次為A、B，點O是坐標原點．
（1）若OA⊥OB，求tanα的值；
（2）若B點的橫坐標為
4
5
，求S△AOB．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C1上的任意一點到點A（-1，0），B（1，0）的距離之和為2
2
．
（Ⅰ）求曲線C1的方程；
（Ⅱ）設橢圓C2：x2+
3y2
2
=1，若斜率為k的直線OM交橢圓C2于點M，垂直于OM的直線ON交曲線C1于點N．
（i）求證：|MN|的最小值為
2
；
（ii）問：是否存在以原點為圓心且與直線MN相切的圓？若存在，求出圓的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知球O與棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1的各棱都相切，則該球的表面積為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

若復數z=1+i（i為虛數單位），
.
z
是z的共軛復數，則z2+
.
z
2的虛部為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=asin2x+cos（2x+
π
3
）的最大值為1，則a=
 
．

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