Question

7．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD都是邊長為1的正三角形，DC=2，E為DC的中點．
（I）求證：PA⊥BD；
（Ⅱ）求直線PE與平面PDB所成角的大小．

Answer 1

分析 （I）連接AE，與BD交于O，連接PO，證明：BD⊥平面PAE，即可證明PA⊥BD；
（Ⅱ）由（I）可知EO⊥平面PDB，則∠EPO為直線PE與平面PDB所成角，即可求直線PE與平面PDB所成角的大小

解答 （I）證明：如圖所示，連接AE，與BD交于O，
連接PO，則
∵四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，AB=AD=1，
∴ABED是正方形，
∴AE⊥BD，BO=OD
∵△PAB和△PAD都是邊長為1的正三角形，
∴PB=PD，
∴PO⊥BD，
∵PO∩AE=O，
∴BD⊥平面PAE，
∵PA?平面PAE，
∴PA⊥BD；
（Ⅱ）解：由（I）可知EO⊥平面PDB，則∠EPO為直線PE與平面PDB所成角．
△PBD中，PB=PD=1，DB=$\sqrt{2}$，∴PB⊥PD，∴PO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵EO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠EPO=45°，
∴直線PE與平面PDB所成角為45°．

點評 本題考查的知識點是直線與平面所成的角，直線與平面垂直的判定與性質，熟練掌握線面垂直的判定定理是解題的關鍵．