Question

1．（1）已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線$\sqrt{7}$x-$\sqrt{5}$y+12=0相切．求橢圓C的方程；
（2）已知⊙A₁：（x+2）²+y²=12和點(diǎn)A₂（2，0），求過(guò)點(diǎn)A₂且與⊙A₁相切的動(dòng)圓圓心P的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓的離心率以及橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線$\sqrt{7}$x-$\sqrt{5}$y+12=0相切，列出方程組求解a，b，即可得到橢圓方程．
（2）判斷P點(diǎn)的軌跡為以A₁，A₂為焦點(diǎn)的雙曲線，求出a，b，即可得到雙曲線方程．

解答 解：（1）由題意得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{\frac{12}{\sqrt{7+5}}=b}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=4，b=2$\sqrt{3}$，c=2 …（3分）
故橢圓C的A₁方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$．     …（5分）
（2）⊙A₁：（x+2）²+y²=12和點(diǎn)A₂（2，0），過(guò)點(diǎn)A₂且與⊙A₁相切的動(dòng)圓圓心P
滿足：||PA₁|-|PA₂||=$2\sqrt{3}＜|{{A_1}{A_2}}|$…（7分）
故P點(diǎn)的軌跡為以A₁，A₂為焦點(diǎn)的雙曲線            …（8分）
$2a=2\sqrt{3}，c=2，解得a=\sqrt{3}，b=1$…（9分）
圓心P的軌跡方程為：$\frac{{x}^{2}}{3}-{y}^{2}=1$　            …（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)以及雙曲線的定義的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．