Question

8．（1）四個不同球放入編號為1，2，3，4的四個盒中，則恰有一個空盒的放法有多少種？
（2）設(shè)有編號為1，2，3，4，5的五個球和編號為1，2，3，4，5的盒子現(xiàn)將這5個球投入5個盒子要求每個盒子放一個球，并且恰好有兩個球的號碼與盒子號碼相同，問有多少種不同的方法？

Answer 1

分析 （1）本題是一個分步計數(shù)問題，首先選一個不放球的盒子有4種情況，第二步在放球的3個盒子中選一個用來放兩個球有3種情況，第三步在四個球中選2個放進(jìn)第二步選中的盒子中有C₄²種情況，第四步把剩下的兩個球放進(jìn)剩下的兩個盒子里，一個盒子一個球有2種情況，得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①、從5個球中取出2個與盒子對號，②、剩下3個球與3個盒子序號不能對應(yīng)，利用枚舉法分析可得其放法數(shù)目，由分步計數(shù)原理計算可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，分4步進(jìn)行分析：
①、先選一個不放球的盒子有4種情況，
②、在放球的3個盒子中選一個用來放兩個球有3種情況，
③、在四個球中選2個放進(jìn)第二步選中的盒子中有C₄²=6種情況，
④、把剩下的兩個球放進(jìn)剩下的兩個盒子里，一個盒子一個球有2種情況
所以放法總數(shù)為4×3×6×2=144種；
（2）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：
①、從5個球中取出2個與盒子對號有$C_5^2$種，
②、剩下3個球與3個盒子序號不能對應(yīng)，
利用枚舉法分析，假設(shè)剩下3，4，5號球與3，4，5號盒子，3號球不能裝入3號盒子，當(dāng)3號球裝入4號盒子時，4，5號球只有1種裝法，
3號球裝入5號盒子時，4，5號球也只有1種裝法，
所以剩下三球只有2種裝法，
故總共裝法數(shù)為$2C_5^2=20$種．

點評 本題考查排列組合的應(yīng)用，排列問題要做到不重不漏，有些題目帶有一定的約束條件，解題時要先考慮有限制條件的元素．