Question

11．已知雙曲線C：$\frac{x^2}{2}$-y²=1，點M₁，M₂，…，M₅為其實軸AB的6等分點，分別過這五點作斜率為k（k≠0）的一組平行線，交雙曲線C于P₁，P₂，…，P₁₀，則直線AP₁，AP₂，…，AP₁₀這10條直線的斜率乘積為（　�。�

• A． $\frac{1}{16}$
• B． $\frac{1}{32}$
• C． $\frac{1}{64}$
• D． $\frac{1}{1024}$

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線的性質(zhì)可知${k}_{A{P}_{1}}$•${k}_{B{P}_{1}}$=${k}_{A{P}_{2}}$•${k}_{B{P}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，由雙曲線的對稱性可知：${k}_{B{P}_{1}}$=${k}_{A{P}_{10}}$，${k}_{B{P}_{10}}$=${k}_{A{P}_{1}}$，即可求得${k}_{A{P}_{1}}$•${k}_{A{P}_{10}}$=$\frac{1}{2}$，同理即可求得直線AP₁，AP₂，…，AP₁₀這10條直線的斜率乘積．

解答 解：設(shè)P₁（x，y），P₂（m，n），則
AP₁、AP₂、BP₁、BP₂這四條直線的斜率乘積：${k}_{A{P}_{1}}$•${k}_{A{P}_{2}}$•${k}_{B{P}_{1}}$•${k}_{B{P}_{2}}$=$\frac{n}{m+\sqrt{2}}$•$\frac{y}{m-\sqrt{2}}$•$\frac{n}{m-\sqrt{2}}$=$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-2}$•$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，
雙曲線的性質(zhì)可知：${k}_{A{P}_{1}}$•${k}_{B{P}_{1}}$=${k}_{A{P}_{2}}$•${k}_{B{P}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，
由雙曲線的對稱性可知：${k}_{B{P}_{1}}$=${k}_{A{P}_{10}}$，${k}_{B{P}_{10}}$=${k}_{A{P}_{1}}$，
∴${k}_{A{P}_{1}}$•${k}_{A{P}_{10}}$=$\frac{1}{2}$，
同理可得${k}_{A{P}_{3}}$•${k}_{A{P}_{8}}$=${k}_{A{P}_{5}}$•${k}_{A{P}_{6}}$=${k}_{A{P}_{7}}$•${k}_{A{P}_{4}}$=${k}_{A{P}_{9}}$•${k}_{A{P}_{2}}$=$\frac{1}{2}$．
∴直線AP₁，AP₂，…，AP₁₀這10條直線的斜率乘積為：（$\frac{1}{2}$）⁵=$\frac{1}{32}$，
故答案選：B．

點評 本題考查了雙曲線的性質(zhì)及雙曲線的對稱性，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．