Question

9．已知函數(shù)f（x）=x²e^-ax-1（a是常數(shù)），
（1）求函數(shù)y=f（x）的單調區(qū)間：（2）當x∈（0，16）時，函數(shù)f（x）有零點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求導數(shù)，分三種情況討論：①當a=0時和②當a＜0時，③當a＜0時；討論f'（x）的正負得到函數(shù)的單調區(qū)間即可．
（2）結合（1），求出f（x）在（0，16）的最小值，根據(jù)最小值小于0，得到關于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）f′（x）=2xe^-ax-ax²e^ax=（2x-ax²）e^-ax．
①當a=0時，若x＜0，則f′（x）＜0，若x＞0，則f'（x）＞0．
所以當a=0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）內為減函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）內為增函數(shù)．
②當a＞0時，由2x-ax²＜0，解得x＜0或x＞$\frac{2}{a}$，
由2x-ax²＞0，解得0＜x＜$\frac{2}{a}$．
所以當a＞0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）內為減函數(shù)，在區(qū)間（0，$\frac{2}{a}$）內為增函數(shù)，在區(qū)間（$\frac{2}{a}$，+∞）內為減函數(shù)．
③當a＜0時，由2x-ax²＜0，解得$\frac{2}{a}$＜x＜0，
由2x-ax²＞0，解得x＜$\frac{2}{a}$或x＞0．
所以，當a＜0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，$\frac{2}{a}$）內為增函數(shù)，在區(qū)間（$\frac{2}{a}$，0）內為減函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）內為增函數(shù)．
綜上所述：①當a=0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）內為減函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）內為增函數(shù)．
②當a＞0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）內為減函數(shù)，在區(qū)間（0，$\frac{2}{a}$）內為增函數(shù)，在區(qū)間（$\frac{2}{a}$，+∞）內為減函數(shù)；
③當a＜0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，$\frac{2}{a}$）內為增函數(shù)，在區(qū)間（$\frac{2}{a}$，0）內為減函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）內為增函數(shù)．
（2）由（1）①a=0時，f（x）=x²-1，令f（x）=0，解得：x=1，符合題意；
②a＞0時，f（x）在區(qū)間（0，$\frac{2}{a}$）內為增函數(shù)，在區(qū)間（$\frac{2}{a}$，+∞）內為減函數(shù)；
若0＜$\frac{2}{a}$＜16，即a＞$\frac{1}{8}$，則f（x）在（0，$\frac{2}{a}$）遞減，在（$\frac{2}{a}$，16）遞增，
故f（x）_min=f（$\frac{2}{a}$）=$\frac{4}{{{e}^{2}a}^{2}}$-1，若x∈（0，16）時，函數(shù)f（x）有零點，
只需f（x）_min=$\frac{4}{{{e}^{2}a}^{2}}$-1＜0，解得：a＞$\frac{2}{e}$，
而$\frac{2}{e}$＞$\frac{1}{8}$，故a＞$\frac{2}{e}$
若$\frac{2}{a}$≥16，即0＜a≤$\frac{1}{8}$則（x）在（0，16）遞減，f（x）_min＞f（16）=16²e^-16a-1，
若x∈（0，16）時，函數(shù)f（x）有零點，
只需16²e^-16a-1＜0，解得：a＜$\frac{1}{2}$ln2，
而$\frac{1}{2}$ln2≈0.346＞$\frac{1}{8}$，故0＜a≤$\frac{1}{8}$，
③a＜0時，f（x）在（0，+∞）遞增，f（x）＞f（0）=-1，函數(shù)有零點，
綜上，a＞$\frac{2}{e}$或a≤$\frac{1}{8}$．

點評 考查學生會利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值．靈活運用分類討論的數(shù)學思想解決數(shù)學問題．