Question

11．已知$\sqrt{（x-\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}+{y}^{2}}$，$\sqrt{3}$，$\sqrt{（x+\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}+{y}^{2}}$成等差數(shù)列，記（x，y）對應(yīng)點(diǎn)的軌跡是C．
（1）求軌跡C的方程；
（2）若直線l：y=kx+m與曲線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，與圓x²+y²=1相切于點(diǎn)M．
①證明：OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；
②設(shè)λ=$\frac{|AM|}{|BM|}$，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓的定義，求軌跡C的方程；
（2）若直線l：y=kx+m與曲線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，與圓x²+y²=1相切于點(diǎn)M．
①證明x₁x₂+y₁y₂=$\frac{3{m}^{2}-3（{k}^{2}+1）}{2{k}^{2}+1}$=0，即可證明：OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；
②λ=$\frac{|AM|}{|BM|}$=$\frac{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1}}{\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+1}}$，（Ⅱ）①知x₁x₂+y₁y₂=0，x₁x₂=-y₁y₂，即${{x}_{2}}^{2}$=$\frac{3-{{x}_{1}}^{2}}{{{x}_{2}}^{2}+1}$．λ=$\frac{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1}}{\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+1}}$=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+1}{2}$，即可求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

解答 解：（1）由題意，$\sqrt{（x-\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}+{y}^{2}}$，$\sqrt{3}$，$\sqrt{（x+\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}+{y}^{2}}$成等差數(shù)列，
∴$\sqrt{（x-\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{（x+\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}+{y}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴C的軌跡是以（-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，0），（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，0）為焦點(diǎn)，2$\sqrt{3}$為長軸長的橢圓，
∴a=$\sqrt{3}$，b=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{2{y}^{2}}{3}$=1；
（2）①證明：∵直線l：y=kx+m與圓x²+y²=1相切，
∴d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，即m²=k²+1，
由直線代入橢圓方程，消去y并整理得，（1+2k²）x²+4kmx+2m²-3=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴x₁+x₁=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-3}{1+2{k}^{2}}$
∴x₁x₂+y₁y₂=$\frac{3{m}^{2}-3（{k}^{2}+1）}{2{k}^{2}+1}$=0，
∴OA⊥OB；
②∵直線l：y=kx+m與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B，
∴$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{3}+\frac{2{{y}_{1}}^{2}}{3}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{3}+\frac{2{{y}_{2}}^{2}}{3}=1$．
∴λ=$\frac{|AM|}{|BM|}$=$\frac{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1}}{\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+1}}$，
由（2）①知x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂=-y₁y₂，即x₁²x₂²=y₁²y₂²=$\frac{1}{2}$（3-x₁²）•$\frac{1}{2}$（3-x₂²），
即有${{x}_{2}}^{2}$=$\frac{3-{{x}_{1}}^{2}}{{{x}_{1}}^{2}+1}$．
∴λ=$\frac{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1}}{\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+1}}$=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+1}{2}$
∵$-\sqrt{3}≤{x}_{1}≤\sqrt{3}$，
∴λ的取值范圍是$\frac{1}{2}≤λ≤2$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了直線與圓、圓與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了利用向量數(shù)量積判斷兩條線段的垂直關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬難題．