Question

16．已知橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）與雙曲線C₂：$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1（m＞0，n＞0）有相同的焦點F₁，F(xiàn)₂，點P是兩曲線的一個公共點，且PF₁⊥PF₂，e₁，e₂分別是兩曲線C₁，C₂的離心率，則2e₁²+$\frac{{e}_{2}^{2}}{2}$的最小值為（　�。�

• A． 1
• B． $\frac{9}{4}$
• C． 4
• D． $\frac{9}{2}$

Answer 1

分析 由題意設(shè)焦距為2c，橢圓長軸長為2a，雙曲線實軸為2m，令P在雙曲線的右支上，由已知條件結(jié)合雙曲線和橢圓的定義推出a²+m²=2c²，由此能求出2e₁²+$\frac{{e}_{2}^{2}}{2}$的最小值．

解答 解：由題意設(shè)焦距為2c，橢圓長軸長為2a，雙曲線實軸為2m，
令P在雙曲線的右支上，
由雙曲線的定義|PF₁|-|PF₂|=2m，①
由橢圓定義|PF₁|+|PF₂|=2a，②
又∵PF₁⊥PF₂，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=4c²，③
①²+②²，得|PF₁|²+|PF₂|²=2a²+2m²，④
將④代入③，得a²+m²=2c²，
∴2e₁²+$\frac{{e}_{2}^{2}}{2}$=$\frac{5}{4}$+$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{4{m}^{2}}$≥$\frac{5}{4}+1=\frac{9}{4}$．
故選：B．

點評 本題考查2e₁²+$\frac{{e}_{2}^{2}}{2}$的最小值的求法，是中檔題，解題時要熟練掌握雙曲線、橢圓的定義，注意均值定理的合理運用．