已知橢圓的離心率為,以原點(diǎn)為圓心,橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切,直線與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)求的取值范圍;
(Ⅰ);(Ⅱ)
解析試題分析:1)根據(jù)離心率為 ,可得 ,根據(jù)橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切,可求b的值,從而可得橢圓的方程;
(2)由題意知直線AB的斜率存在,設(shè)直線PB的方程代入橢圓方程,利用韋達(dá)定理,及向量的數(shù)量積公式,即可確定 的取值范圍.
試題解析:(Ⅰ)由題意知,∴,即
又,∴ 故橢圓的方程為 4分
(Ⅱ)解:由得: 6分
設(shè)A(x1,y1),B (x2,y2),則 8分
∴ 10分
∵∴, ∴
∴的取值范圍是. 13分
考點(diǎn):直線與圓錐曲線的綜合問題;平面向量數(shù)量積的運(yùn)算;橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知拋物線與雙曲線有公共焦點(diǎn),點(diǎn)是曲線在第一象限的交點(diǎn),且.
(1)求雙曲線的方程;
(2)以雙曲線的另一焦點(diǎn)為圓心的圓與直線相切,圓.過點(diǎn)作互相垂直且分別與圓、圓相交的直線和,設(shè)被圓截得的弦長為,被圓截得的弦長為,問:是否為定值?如果是,請求出這個定值;如果不是,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)點(diǎn)A(,0),B(,0),直線AM、BM相交于點(diǎn)M,且它們的斜率之積為.
(Ⅰ)求動點(diǎn)M的軌跡C的方程;
(Ⅱ)若直線過點(diǎn)F(1,0)且繞F旋轉(zhuǎn),與圓相交于P、Q兩點(diǎn),與軌跡C相交于R、S兩點(diǎn),若|PQ|求△的面積的最大值和最小值(F′為軌跡C的左焦點(diǎn)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和等于4,設(shè)點(diǎn)的軌跡為,直線與交于兩點(diǎn).
(1)寫出的方程;
(2) ,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)是拋物線上相異兩點(diǎn),到y(tǒng)軸的距離的積為且.
(1)求該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)過Q的直線與拋物線的另一交點(diǎn)為R,與軸交點(diǎn)為T,且Q為線段RT的中點(diǎn),試求弦PR長度的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,過拋物線的對稱軸上任一點(diǎn)作直線與拋物線交于、兩點(diǎn),點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn).
(1)設(shè),證明:;
(2)設(shè)直線AB的方程是,過、兩點(diǎn)的圓C與拋物線在點(diǎn)A處有共同的切線,求圓C的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系中,已知定點(diǎn)A(-2,0)、B(2,0),異于A、B兩點(diǎn)的動點(diǎn)P滿足,其中k1、k2分別表示直線AP、BP的斜率.
(Ⅰ)求動點(diǎn)P的軌跡E的方程;
(Ⅱ)若N是直線x=2上異于點(diǎn)B的任意一點(diǎn),直線AN與(I)中軌跡E交予點(diǎn)Q,設(shè)直線QB與以NB為直徑的圓的一個交點(diǎn)為M(異于點(diǎn)B),點(diǎn)C(1,0),求證:|CM|·|CN| 為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為和,且橢圓過點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)作不與軸垂直的直線交該橢圓于兩點(diǎn),為橢圓的左頂點(diǎn),試判斷的大小是否為定值,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,橢圓的左頂點(diǎn)為,是橢圓上異于點(diǎn)的任意一點(diǎn),點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱.
(Ⅰ)若點(diǎn)的坐標(biāo)為,求的值;
(Ⅱ)若橢圓上存在點(diǎn),使得,求的取值范圍.
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