Question

13．（1）在△ABC中，若2lgtanB=lgtanA+lgtanC，則B的取值范圍是[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）．
（2）求函數(shù)y=7-4sinxcosx+4cos²x-4cos⁴x的最大值10．

Answer 1

分析 （1）通過對數(shù)的基本運算，推出三角形的角的關(guān)系，利用兩角和的正切以及三角形的內(nèi)角和，求出tanB的范圍，即可得到B的范圍．
（2）利用正弦函數(shù)的二倍角公式將f（x）=7-4sinxcosx+4cos²x-4cos⁴x化為：f（x）═（sin2x-1）²+6，即可得到答案

解答 解：（1）由題意，得tan²B=tanAtanC，
∵tanB=-tan（A+C）=$\frac{tanA+tanC}{tanA•tanC-1}$，
∴tanB=$\frac{tanA+tanC}{ta{n}^{2}B-1}$，
∴tan³B-tanB=tanA+tanC≥2$\sqrt{tanA•tanC}$=2tanB，
∴tan³B≥3tanB，tanB＞0
∴tanB≥$\sqrt{3}$，
∴B∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$），
（2）∵f（x）=7-4sinxcosx+4cos²x-4cos⁴x
=7-2sin2x+4cos²x•sin²x
=7-2sin2x+sin²2x
=（sin2x-1）²+6．
當(dāng)sin2x=-1時，即2x=2kπ-$\frac{π}{2}$時，即x=kπ-$\frac{π}{4}$時，k∈Z時，f（x）有最大值．
∴f（x）_max=10，
故答案為：（1）[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$），（2）10

點評 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)的化簡求值，著重考察正弦函數(shù)的二倍角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)，突出二次函數(shù)的配方法的考察，屬于中檔題．