Question

已知圓：
（1）平面上有兩點，求過點兩點的直線被圓截得的弦長；
（2）已知過點的直線平分圓的周長，是直線上的動點，
并且，求的最小值．
(3) 若是軸上的動點，分別切圓于兩點．
試問：直線是否恒過定點？如是，求出定點坐標，如不是，說明理由．

Answer 1

（1）4；（2）；（3）直線恒過定點.

第一問主要是利用兩點坐標，求解出直線方程AB，然后聯(lián)立方程組，得到弦長。
第二問中，由于直線平分圓的周長，說明了直線過圓心，則可以得到直線l的方程，然后結(jié)合均值不等式來求解最值
第三問中，要判定直線是否恒過定點，關鍵是求解直線MN的方程即可。
解：（1）因為直線經(jīng)過兩點，從而直線的方程為
進而令中的得或
故此直線被圓截得的弦長為.               ……  3分
(2) 因為圓的圓心為, 又直線過點，
所以直線的方程是:
而在直線上, 所以有:    也即有
 ， 進而有： 
故當，即時，又,
從而時取得最小值
(3) 由知在以為直徑的圓上。
設，則以為直徑的圓的方程為：.
即 
與圓：聯(lián)立，消去得
。
故無論取何值時，直線恒過直線的交點，
即直線恒過定點……………12分