Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\frac{ax+b}{1+{x}^{2}}$的定義域為（-1，1），滿足f（-x）=-f（x），且f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{2}{5}$．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）證明f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)；
（3）解不等式f（2x-1）+f（x）＜0．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件可知，f（x）為奇函數(shù)，且在原點有定義，從而得出f（0）=b=0，再由$f（\frac{1}{2}）=\frac{2}{5}$即可求出a=1，從而得出$f（x）=\frac{x}{1+{x}^{2}}$；
（2）根據(jù)增函數(shù)的定義，設(shè)任意的x₁，x₂∈（-1，1），并且x₁＜x₂，然后作差，通分，提取公因式，證明f（x₁）＜f（x₂），從而得出f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)；
（3）容易判斷f（x）為奇函數(shù)，從而由f（2x-1）+f（x）＜0便可得到f（2x-1）＜f（-x），根據(jù)f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)，便可得到-1＜2x-1＜-x＜1，解該不等式組便可得出原不等式的解集．

解答 解：（1）f（x）的定義域為（-1，1），關(guān)于原點對稱，且f（-x）=-f（x）；
∴f（x）為奇函數(shù)；
∴$f（0）=\frac{1+0}=0$；
∴b=0，則$f（x）=\frac{ax}{1+{x}^{2}}$；
∴$f（\frac{1}{2}）=\frac{\frac{a}{2}}{1+\frac{1}{4}}=\frac{2}{5}$；
∴a=1；
∴$f（x）=\frac{x}{1+{x}^{2}}$；
（2）證明：設(shè)-1＜x₁＜x₂＜1，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{{x}_{1}}{{{x}_{1}}^{2}+1}-\frac{{x}_{2}}{{{x}_{2}}^{2}+1}$=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-{x}_{1}{x}_{2}）}{（1+{{x}_{1}}^{2}）（1+{{x}_{2}}^{2}）}$；
∵-1＜x₁＜x₂＜1；
∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，（1+x12）（1+x22）＞0；
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)；
（3）f（x）顯然為奇函數(shù)；
∴由f（2x-1）+f（x）＜0得，f（2x-1）＜-f（x）；
∴f（2x-1）＜f（-x）；
由（1）知f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)，則：
-1＜2x-1＜-x＜1，
解得$0＜x＜\frac{1}{3}$；
∴原不等式的解集為$（0，\frac{1}{3}）$．

點評 考查奇函數(shù)的定義，奇函數(shù)在原點有定義時，原點處的函數(shù)值為0，增函數(shù)的定義，根據(jù)增函數(shù)定義證明一個函數(shù)為增函數(shù)的方法和過程，根據(jù)單調(diào)性解不等式的方法．