Question

15．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時，f（x）=x²+2x．
（Ⅰ）求f（0）的值；
（Ⅱ）求此函數(shù)在R上的解析式；
（Ⅲ）若對任意的t∈R，不等式f（t+1）+f（m-2t²）＜0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）f（x）是定義在R上的奇函數(shù)⇒f（-0）=-f（0），從而可得f（0）的值；
（Ⅱ）設(shè)x＜0，則-x＞0，利用x＞0時，f（x）=x²+2x及f（x）=-f（-x），可求得此時f（x）的表達式，從而可得此函數(shù)在R上的解析；
（Ⅲ）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，利用定義法可判斷函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，再將不等式f（t+1）+f（m-2t²）＜0恒成立轉(zhuǎn)化為f（t+1）＜-f（m-2t²）=f（2t²-m）恒成立，分離參數(shù)m，利用恒成立思想可求實數(shù)m的取值范圍．

解答 （本題12分）
解：（Ⅰ）因為f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以f（-0）=-f（0），f（0）=0
（Ⅱ）設(shè)x＜0，則-x＞0，∴f（-x）=（-x）²+2（-x）=x²-2x，
又∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴f（x）=-f（-x）=-x²+2x，
∴$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+2x\;\;\;（x＞0）}\\{0\;（x=0）}\\{-{x^2}+2x\;\;（x＜0）}\end{array}}\right.$．
（Ⅲ）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
則$f（{x_1}）-f（{x_2}）=（{x_1}^2+2{x_1}）-（{x_2}^2+2{x^2}）=（{x_1}-{x_2}）（{x_1}+{x_2}+2）$，
∵x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，∴x₁+x₂+2＞0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
同理可證：函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，又f（0）=0，
∴函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增．
∵對任意的t∈R，不等式f（t+1）+f（m-2t²）＜0恒成立，
即f（t+1）＜-f（m-2t²）=f（2t²-m）恒成立，
∴t+1＜2t²-m，即$m＜2{t^2}-t-1=2{（t-\frac{1}{2}）^2}-\frac{3}{2}$恒成立，
∴$m＜-\frac{3}{2}$，
所以，實數(shù)m的取值范圍為$（-∞，\;-\frac{3}{2}）$．

點評 本題考查函數(shù)恒成立問題，考查函數(shù)解析式的求解及常用方法，突出考查利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，考查等價轉(zhuǎn)化思想與運算求解能力，屬于難題．