Question

16．如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=2，AA₁=$\sqrt{2}$，E是A₁C₁邊的中點(diǎn)，過A，B，E作截面交B₁C₁于點(diǎn)D
（Ⅰ）證明：B₁C⊥AD；
（Ⅱ）求點(diǎn)C₁到截面ABDE的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接B₁C，證明：B₁C⊥平面ADB，即可證明B₁C⊥AD；
（Ⅱ）點(diǎn)C₁到截面ABDE的距離=點(diǎn)B₁到截面ABDE的距離B₁O，利用等面積求點(diǎn)C₁到截面ABDE的距離．

解答 （Ⅰ）證明：連接B₁C，則
∵E是A₁C₁邊的中點(diǎn)，過A，B，E作截面交B₁C₁于點(diǎn)D
∴D是B₁C₁邊的中點(diǎn)，
∵BC=2，AA₁=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{{B}_{1}B}{D{B}_{1}}=\frac{BC}{{B}_{1}B}$，
∴△B₁BC∽△DB₁B，
∴∠BB₁C=∠B₁DB，
∴B₁C⊥BD，
∵AB⊥BC，AB⊥BB₁，BC∩BB₁=B，
∴B₁C⊥平面ADB，
∵AD?平面ADB，
∴B₁C⊥AD；
（Ⅱ）解：點(diǎn)C₁到截面ABDE的距離=點(diǎn)B₁到截面ABDE的距離B₁O．
△B₁BD中，BD=$\sqrt{2+1}$=$\sqrt{3}$，由等面積可得B₁O=$\frac{2×\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評 本題給出直三棱柱，求證線面垂直并求點(diǎn)到平面的距離．著重考查了空間線面垂直的判定與性質(zhì)，及其應(yīng)用等知識(shí)，屬于中檔題．