Question

已知常數(shù)b＞0，函數(shù)f（x）=

ax

x+a

圖象過（2，1）點，函數(shù)g（x）=ln（1+bx）設h（x）=g（x）-f（x）
（Ⅰ）討論h（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調性．
（Ⅱ）若h（x）存在兩個極值點x₁，x₂，求b的取值范圍，使h（x₁）+h（x₂）＞0．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，注意對b分類討論；
（Ⅱ）利用導數(shù)判斷函數(shù)的極值，注意b的討論及利用換元法轉化為求函數(shù)最值問題解決．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=

ax

x+a

圖象過（2，1）點，
∴

2a

2+a

=1，解得a=2，
∴h（x）=g（x）-f（x）=ln（1+bx）-

2x

x+2

，
∴h′（x）=ln′（1+bx）-（

2x

x+2

）′=

b

1+bx

-

2[(x+2)-x]

(x+2)2

=

b

1+bx

-

4

(x+2)2

=

bx2+4b2-4

(1+bx)(x+2)2

當b≥1時，h′（x）＞0，此時h（x）在（0，+∞）上遞增，
當0＜b＜1時，令h′（x）=0，解得x₁=2

1-b b

，x₂=-2

1-b b

（舍去）
當x∈（0，2

1-b b

）時，h′（x）＜0，當x∈（2

1-b b

，+∞）時，h′（x）＞0，
故函數(shù)h（x）在（0，2

1-b b

）上遞減，在（2

1-b b

，+∞）上遞增，
綜上所述，當b≥1時，h（x）在（0，+∞）上遞增，
0＜b＜1時，函數(shù)h（x）在（0，2

1-b b

）上遞減，在（2

1-b b

，+∞）上遞增．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當b≥1時，h′（x）≥0，此時h（x）不存在極值點．
因此要使h（x）存在兩個極值點x₁，x₂，則必有0＜b＜1，又h（x）的極值點值可能是x₁=2

1-b b

，x₂=-2

1-b b

，
且由h（x）的定義域可知x＞-

1

b

且x≠-2，
∴-2

1-b b

＞-

1

b

且-2

1-b b

≠-2，解得b≠

1

2

，則x₁，x₂分別為函數(shù)h（x）的極小值點和極大值點，
∴h（x₁）+h（x₂）=ln[1+ax₁]-

2x1

x1+2

+ln（1+ax₂）-

2x2

x2+2

=ln[1+a（x₁+x₂）+a²x₁x₂]-

4x1x2+4(x1+x2)

x1x2+2(x1+x2)+4

=ln（2b-1）²-

4(b-1)

2b-1

=ln（2b-1）²+

2

2b-1

-2．
令2b-1=x，由0＜b＜1且b≠

1

2

得，
當0＜b＜

1

2

時，-1＜x＜0；當

1

2

＜b＜1時，0＜x＜1．
令φ（x）=lnx²+

2

x

-2．
（i）當-1＜x＜0時，φ（x）=2ln（-x）+

2

x

-2，∴φ′（x）=

2x-2

x2

＜0，
故φ（x）在（-1，0）上單調遞減，φ（x）＜φ（-1）=-4＜0，
∴當0＜a＜

1

2

時，h（x₁）+h（x₂）＜0；
（ii）當0＜x＜1．φ（x）=2lnx+

2

x

-2，φ′（x）=

2x-2

x2

＜0，
故φ（x）在（0，1）上單調遞減，φ（x）＞g（1）=0，
∴當

1

2

＜b＜1時，h（x₁）+h（x₂）＞0；
綜上所述，b的取值范圍是（

1

2

，1）．

點評：本題主要考查學生對含有參數(shù)的函數(shù)的單調性及極值的判斷，考查利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性及求極值的能力，考查分類討論思想及轉化劃歸思想的運用和運算能力，邏輯性綜合性強，屬難題．