Question

20．如表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y（噸標(biāo)準(zhǔn)煤）的幾組對照數(shù)據(jù)：

x	3	4	5	6
y	2.5	3	4	4.5

（1）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=bx+a；
（2）求出R²檢驗(yàn)所求回歸方程是否可靠；
（3）進(jìn)行殘差分析．
（4）試根據(jù)（1）求出的線性回歸方程，預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗是多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？
（參考數(shù)值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）
$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$         $\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$    R²=1-$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\widehat{{y}_{i}}）^{2}}{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)所給的這組數(shù)據(jù)求出利用最小二乘法所需要的幾個(gè)數(shù)據(jù)，代入求系數(shù)b的公式，求得結(jié)果，再把樣本中心點(diǎn)代入，求出a的值，得到線性回歸方程．
（2）根據(jù)所給的這組數(shù)據(jù)，代入相關(guān)指數(shù)公式，可求出R²，
（3）根據(jù)計(jì)算的R²的大小進(jìn)行分析
（4）根據(jù)上一問所求的線性回歸方程，把x=100代入線性回歸方程，即可估計(jì)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗

解答 解：（1）對照數(shù)據(jù)，計(jì)算得 $\sum _{i=1}^{4}{{x}_{i}}^{2}$=86，$\sum _{i=1}^{4}{{x}_{i}{y}_{i}}^{\;}$=66.5，$\overline{x}$=4.5，$\overline{y}$=3.5，
∴回歸方程的系數(shù)為$\hat$=$\frac{66.5-4×4.5×3.5}{86-4×{4.5}^{2}}$=0.7，$\hat{a}$=0.35，
∴所求線性回歸方程為$\hat{y}$=0.7x+0.35，
R²=1-$\frac{\sum _{i=1}^{4}{（{y}_{i}-\widehat{{y}_{i}}）}^{2}}{\sum _{i=1}^{4}{（{y}_{i}-\overline{y}）}^{2}}$=1-$\frac{0.0025+0.0225+0.0225+0.0025}{1+0.25+0.25+1}$=1-0.02=0.98．
（3）∵R²=0.98，非常接近1，故用回歸方程$\hat{y}$=0.7x+0.35模擬x，y間的關(guān)系的擬合效果非常好
（4）由（1）求出的線性回歸方程，估計(jì)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為0.7×100+0.35=70.35（噸），
∴估計(jì)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為70.35噸．

點(diǎn)評 本題考查線性回歸方程，兩個(gè)變量之間的關(guān)系，除了函數(shù)關(guān)系，還存在相關(guān)關(guān)系，通過建立回歸直線方程，就可以根據(jù)其部分觀測值，獲得對這兩個(gè)變量之間整體關(guān)系的了解．