Question

10．設(shè)f（x），g（x）是定義域?yàn)镽的恒大于零的可導(dǎo)函數(shù)，且 f'（x）•g（x）-f（x）g'（x）＜0，則當(dāng)b＜x＜a時(shí)有（　　）

• A． f（x）•g（x）＞f（a）•g（a）
• B． f（x）•g（a）＞f（a）•g（x）
• C． f（x）•g（b）＞f（b）•g（x）
• D． f（x）•g（x）＞f（b）•g（b）

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)F（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}$，求導(dǎo)可判函數(shù)F（x）為R上單調(diào)遞減的函數(shù)，結(jié)合b＜x＜a，可得$\frac{f（b）}{g（b）}$＞$\frac{f（x）}{g（x）}$＞$\frac{f（a）}{g（a）}$，由題意結(jié)合選項(xiàng)分析，可得答案．

解答 解：由題意構(gòu)造函數(shù)F（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}$
則其導(dǎo)函數(shù)F′（x）=$\frac{f′（x）g（x）-f（x）g′（x）}{[g（x）]^{2}}$＜0，
故函數(shù)F（x）為R上單調(diào)遞減的函數(shù)，
∵b＜x＜a，∴F（b）＞F（x）＞F（a），
即$\frac{f（b）}{g（b）}$＞$\frac{f（x）}{g（x）}$＞$\frac{f（a）}{g（a）}$，
又f（x），g（x）是定義域?yàn)镽的恒大于零的可導(dǎo)函數(shù)，
對式子的后半部分兩邊同乘以g（a）g（x）可得f（x）g（a）＞f（a）g（x）．
故選B．

點(diǎn)評 本題考查構(gòu)造函數(shù)證明不等式，涉及商的導(dǎo)數(shù)，屬基礎(chǔ)題．