Question

19．已知過雙曲線：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的右焦點F₂作圓x²+y²=a²的切線，交雙曲線的左支于點A，且AF₁⊥AF₂，則雙曲線的離心率是$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 設切點為M，連接OM，運用切線的性質(zhì)，以及中位線定理，可得AF₁=2a，由雙曲線的定義，可得AF₂=2a+AF₁=4a，再由勾股定理，可得c²=5a²，由離心率公式即可得到所求值．

解答 解：設切點為M，連接OM，
可得OM⊥AF₂，
AF₁⊥AF₂，可得AF₁∥OM，
且OM=a，AF₁=2a，
由雙曲線的定義，可得AF₂=2a+AF₁=4a，
在直角三角形AF₁F₂中，
AF₁²+AF₂²=F₁F₂²，
即為4a²+16a²=4c²，
即有c²=5a²，
可得離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故答案為：$\sqrt{5}$．

點評 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，主要是離心率的求法，注意運用直線和圓相切的條件和中位線定理、勾股定理，考查運算能力，屬于中檔題．