分析 (Ⅰ)連結BD,記AC∩BD=O,取DE的中點G,連結OG、FG,推導出四邊形AOGF是平行四邊形,從而AC∥FG,由此能證明AC∥平面DEF.
(Ⅱ)在面ABEF中,過F作FH∥AB,交BE于點H,推導出FE⊥EB,從而FE⊥AF,三棱錐C-DEF的體積VC-DEF=VA-DEF=VD-AEF,由此能求出三棱錐C-DEF的體積.
解答 證明:(Ⅰ)連結BD,記AC∩BD=O,取DE的中點G,連結OG、FG,
∵點O、G分別是BD和ED的中點,∴OG$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BE,
又AF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}BE$,∴OG$\underset{∥}{=}$AF,∴四邊形AOGF是平行四邊形,
∴AO∥FG,即AC∥FG,
又AC?面DEF,F(xiàn)G?平面DEF,
∴AC∥平面DEF.
解:(Ⅱ)在面ABEF中,過F作FH∥AB,交BE于點H,
由已知條件知,在梯形ABEF中,AB=FH=2,EF=$\sqrt{3}$,EH=1,
∴FH2=EF2+EH2,即FE⊥EB,從而FE⊥AF,
∵AC∥平面DEF,∴點C到平面DEF的距離為AF=BH=2-1=1,∠AFE=90°,
∴${S}_{△AEF}=\frac{1}{2}×AF×EF=\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
∴三棱錐C-DEF的體積VC-DEF=VA-DEF=VD-AEF=$\frac{1}{3}×{S}_{△AEF}×AD$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×2$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$.
點評 本題考查線面平行的證明,考查三棱錐的體積的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).
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