Question

如圖，已知拋物線C：y²=x和⊙M：（x-4）²+y²=1，過拋物線C上一點H（x₀，y₀）（y₀≥1）做兩條直線與⊙M相切于A、B兩點，分別交拋物線于E、F兩點．
（1）當∠AHB的角平分線垂直x軸時，求直線EF的斜率；
（2）若直線AB在y軸上的截距為t，求t的最小值．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）法一：根據當∠AHB的角平分線垂直x軸時，點H（4，2），可得k_HE=-k_HF，設E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），可得y₁+y₂=-2y_H=-4，從而可求直線EF的斜率；
法二：求得直線HA的方程為y=

3

x-4

3

+2，與拋物線方程聯立，求出E，F的坐標，從而可求直線EF的斜率；
（2）法一：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求出直線HA的方程，直線HB的方程，從而可得直線AB的方程，令x=0，可得t=4y₀-

15

y0

（y₀≥1），再利用導數法，即可求得t的最小值．
法二：求以H為圓心，HA為半徑的圓方程，⊙M方程，兩方程相減，可得直線AB的方程，當x=0時，直線AB在y軸上的截距t=4m-

15

m

（m≥1），再利用導數法，即可求得t的最小值．

解答： 解：（1）法一：∵當∠AHB的角平分線垂直x軸時，點H（4，2），
∴k_HE=-k_HF，
設E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
∴

yH-y1

xH-x1

=-

yH-y2

xH-x2

，
∴

yH-y1

yH2-y12

=-

yH-y2

yH2-y22

，
∴y₁+y₂=-2y_H=-4．（5分）
∴k_EF=

y2-y1

x2-x1

=

y2-y1

y22-y12

=

1

y2+y1

=-

1

4

．（7分）
法二：∵當∠AHB的角平分線垂直x軸時，點H（4，2），∴∠AHB=60°，可得kHA=

3

，kHB=-

3

，
∴直線HA的方程為y=

3

x-4

3

+2，
聯立方程組

y= 3 x-4 3 +2 y2=x

，
得

3

y²-y-4

3

+2=0，
∵y_E+2=

3

3

，
∴y_E=

3

3

-2，
x_E=

13-4 3

3

．（5分）
同理可得y_F=-

3

3

-2，x_F=

13+4 3

3

，
∴k_EF=-

1

4

．（7分）
（Ⅲ）法一：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵k_MA=

y1

x1-4

，
∴k_HA=

4-x1

y1

，
∴直線HA的方程為（4-x₁）x-y₁y+4x₁-15=0，
同理，直線HB的方程為（4-x₂）x-y₂y+4x₂-15=0，
∴（4-x₁）y₀²-y₁y₀+4x₁-15=0，（4-x₂）y₀²-y₂y₀+4x₂-15=0，（9分）
∴直線AB的方程為（4-x）y₀²-yy₀+4x-15=0，
令x=0，可得t=4y₀-

15

y0

，（y₀≥1），
∵t′=4+

15

y02

＞0，
∴t關于y₀的函數在[1，+∞）上單調遞增，
∴當y₀=1時，t_min=-11．（12分）
法二：設點H（m²，m）（m≥1），HM²=m⁴-7m²+16，HA²=m⁴-7m²+15．
以H為圓心，HA為半徑的圓方程為（x-m²）²+（y-m）²=m⁴-7m²+15，①
⊙M方程：（x-4）²+y²=1．②
①-②得：直線AB的方程為（2x-m²-4）（4-m²）-（2y-m）m=m⁴-7m²+14．（9分）
當x=0時，直線AB在y軸上的截距t=4m-

15

m

（m≥1），
∵t′=4+

15

m2

＞0，
∴t關于m的函數在[1，+∞）上單調遞增，
∴當m=1時，t_min=-11．（12分）

點評：本題以拋物線與圓的方程為載體，考查拋物線的標準方程，考查直線方程，同時考查利用導數法解決函數的最值問題，綜合性較強．