Question

【題目】在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數，將曲線經過伸縮變換后得到曲線.在以原點為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線的極坐標方程為.

（1）說明曲線是哪一種曲線，并將曲線的方程化為極坐標方程；

（2）已知點是曲線上的任意一點，又直線上有兩點和，且，又點的極角為，點的極角為銳角.求：

①點的極角；

②面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）曲線為圓心在原點，半徑為2的圓.的極坐標方程為（2）①②

【解析】

（1）求得曲線伸縮變換后所得的參數方程，消參后求得的普通方程，判斷出對應的曲線，并將的普通方程轉化為極坐標方程.

（2）

①將的極角代入直線的極坐標方程，由此求得點的極徑，判斷出為等腰三角形，求得直線的普通方程，由此求得，進而求得，從而求得點的極角.

②解法一：利用曲線的參數方程，求得曲線上的點到直線的距離的表達式，結合三角函數的知識求得的最小值和最大值，由此求得面積的取值范圍.

解法二：根據曲線表示的曲線，利用圓的幾何性質求得圓上的點到直線的距離的最大值和最小值，進而求得面積的取值范圍.

（1）因為曲線的參數方程為（為參數），

因為則曲線的參數方程

所以的普通方程為.所以曲線為圓心在原點，半徑為2的圓.

所以的極坐標方程為，即.

（2）①點的極角為，代入直線的極坐標方程得點

極徑為，且，所以為等腰三角形，

又直線的普通方程為，

又點的極角為銳角，所以，所以，

所以點的極角為.

②解法1：直線的普通方程為.

曲線上的點到直線的距離

.

當，即（）時，

取到最小值為.

當，即（）時，

取到最大值為.

所以面積的最大值為；

所以面積的最小值為；

故面積的取值范圍.

解法2：直線的普通方程為.

因為圓的半徑為2，且圓心到直線的距離，

因為，所以圓與直線相離.

所以圓上的點到直線的距離最大值為，

最小值為.

所以面積的最大值為；

所以面積的最小值為；

故面積的取值范圍.