【題目】已知數(shù)列
滿足：
，
，設(shè)數(shù)列
的前
項和為
.證明：
（Ⅰ）
；
（Ⅱ）
；
（Ⅲ）
.
【答案】（Ⅰ）見解析； （Ⅱ）見解析； （Ⅲ）見解析.
【解析】
（Ⅰ）由數(shù)學歸納法證得不等式；
（Ⅱ）先利用
證明
，得數(shù)列
是遞減數(shù)列，則
，進而分析法證明原不等式，再構(gòu)造函數(shù)
，利用導數(shù)證得不等式成立；
（Ⅲ）由（Ⅱ）所證不等式取倒移項得數(shù)列
的遞推不等式關(guān)系，利用累加法得
，利用分組求和即可證得數(shù)列的前
項和
；構(gòu)造
，利用導數(shù)分析單調(diào)性證得
，即
，同前面的證明過程，可證
，即原不等式得證.
（Ⅰ）當
時，
，所以命題成立；
假設(shè)
時命題成立，即.
則
當
時，有
，所以
.
故對于
都有
（Ⅱ）令
，即
所以
在
上單調(diào)遞減，則
所以，即
，所以數(shù)列是遞減數(shù)列
故
，因此.
要證明
，即證
構(gòu)造函數(shù).
，所以
在
單調(diào)遞減.
故
，因此.
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知
成立，
則由遞推關(guān)系累加法可得
，故數(shù)列的前項和
即
構(gòu)造函數(shù)
，所以
在
單調(diào)遞增.
故
，得.
所以有
，同前推理有
，則同前由累加法可得
，故同前分組求和的方式得.
因此得證
.
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【題目】在2016年8月巴西里約熱內(nèi)盧舉辦的第31屆奧運會上，乒乓球比賽團體決賽實行五場三勝制，且任何一方獲勝三場比賽即結(jié)束.甲、乙兩個代表隊最終進入決賽，根據(jù)雙方排定的出場順序及以往戰(zhàn)績統(tǒng)計分析，甲隊依次派出的五位選手分別戰(zhàn)勝對手的概率如下表：
出場順序 | 1號 | 2號 | 3號 | 4號 | 5號 |
獲勝概率 |
|
|
|
|
|
若甲隊橫掃對手獲勝（即3∶0獲勝）的概率是
，比賽至少打滿4場的概率為
.
（1）求
，
的值；
（2）求甲隊獲勝場數(shù)的分布列和數(shù)學期望.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】設(shè)定義在R上的函數(shù)
，當
時，
取極大值
，且函數(shù)
的圖象關(guān)于原點對稱．
（1）求的表達式；
（2）試在函數(shù)的圖象上求兩點，使以這兩點為切點的切線互相垂直，且切點的橫坐標都在
上；
（3）設(shè)
，
，求證：
．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】對于不重合的兩個平面α與β，給定下列條件：
①存在平面γ，使得α，β都平行于γ
②存在兩條不同的直線l，m，使得lβ，mβ，使得l∥α，m∥α
③α內(nèi)有不共線的三點到β的距離相等；
④存在異面直線l，m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β.
其中，可以判定α與β平行的條件有（ ）
A.1個B.2個C.3個D.4個
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【題目】某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額商品后即可抽獎，每次抽獎都從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中，各隨機摸出1個球，在摸出的2個球中，若都是紅球，則獲一等獎；若只有1個紅球，則獲二等獎；若沒有紅球，則不獲獎.
（1）求顧客抽獎1次能獲獎的概率；
（2）若某顧客有3次抽獎機會，記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數(shù)為
，求的分布列和數(shù)學期望.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，
．
（1）討論函數(shù)
的導函數(shù)
的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)在
處取得極大值，求a的取值范圍．
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