【題目】已知函數(shù)f(x)=2x+m21﹣x .
(1)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù),求實數(shù)m的值;
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù),求實數(shù)m的取值范圍;
(3)是否存在實數(shù)a,使得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點A(a,0)對稱,若存在,求實數(shù)a的值,若不存在,請說明理由.
注:點M(x1 , y1),N(x2 , y2)的中點坐標(biāo)為( , ).
【答案】
(1)解:函數(shù)的定義域為實數(shù)集R
因為函數(shù)為奇函數(shù)
故f(﹣x)=﹣f(x),
所以f(0)=1+2m=0,即m=﹣ ,
此時f(x)=2x﹣2﹣x.
函數(shù)為奇函數(shù)滿足題意
故m=﹣
(2)解:解法一:
任取設(shè)1<x1<x2,
則f(x1)﹣f(x2)=( )﹣( )
=( )( )<0對任意滿足1<x1<x2恒成立
因為 <0,且 ,
故2m≤4,即m≤2;
解法二:若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù),
則f′(x)=ln22x﹣ln2m21﹣x≥0在區(qū)間(1,+∞)上恒成立,
即m≤22x﹣1在區(qū)間(1,+∞)上恒成立,
令y=22x﹣1,則在區(qū)間(1,+∞)上y>22﹣1=2恒成立,
故m≤2
(3)解:假設(shè)存在滿足條件的實數(shù)a
在函數(shù)f(x)圖象上任取一點M(x1,y1),關(guān)于A(a,0)對稱點為N(x2,y2)
則 =a, =0,
即x2=2a﹣x1,y2=﹣y1,
即有f(x1)+f(2a﹣x1)=0恒成立
(注:沒有推導(dǎo)過程的,只有結(jié)論的不給分)
即( )+ =0,
化簡得:(22a+2m)( + )=0
∵ + >0恒成立,
故有:22a+2m=0,
當(dāng)m≥0時,方程無解,故不存在
當(dāng)m<0時,a= ,
綜上所述:①當(dāng)m≥0時,不存在實數(shù)a,使得函數(shù)f(x)圖象關(guān)于點A(a,0)對稱
②當(dāng)m<0時,存在實數(shù)a= ,使得得函數(shù)f(x)圖象關(guān)于點A(a,0)對稱
【解析】(1)由函數(shù)f(x)為奇函數(shù),f(0)=0,解得實數(shù)m的值;(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù),
解法一:f(x1)﹣f(x2)<0對任意滿足1<x1<x2恒成立,解得實數(shù)m的取值范圍;
解法二:f′(x)≥0在區(qū)間(1,+∞)上恒成立,解得實數(shù)m的取值范圍;(3)假設(shè)存在滿足條件的實數(shù)a,則有有f(x1)+f(2a﹣x1)=0恒成立,則有:22a+2m=0,進(jìn)而可得滿足條件的答案.
【考點精析】通過靈活運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)的奇偶性,掌握單調(diào)性的判定法:①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量,且x1<x2;②判定f(x1)與f(x2)的大;③作差比較或作商比較;偶函的圖象關(guān)于y軸對稱;奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱即可以解答此題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分)
已知四棱柱的底面是邊長為的菱形,且, 平面, ,設(shè)為的中點。
(Ⅰ)求證: 平面
(Ⅱ)點在線段上,且平面,
求平面和平面所成銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知一曲線C是與兩個定點O(0,0),A(3,0)的距離比為 的點的軌跡.
(1)求曲線C的方程,并指出曲線類型;
(2)過(﹣2,2)的直線l與曲線C相交于M,N,且|MN|=2 ,求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知集合M={x|x2﹣3x﹣18≤0},N={x|1﹣a≤x≤2a+1}.
(1)若a=3,求M∩N和RN;
(2)若MN,求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列 的各項均為正整數(shù),對于任意n∈N* , 都有 成立,且 .
(1)求 , 的值;
(2)猜想數(shù)列 的通項公式,并給出證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,點E是PC的中點,作EF⊥PB交PB于點F.
(1)求證:PA∥平面BDE;
(2)求證:PB⊥平面DEF.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù).
(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)當(dāng)函數(shù)有最大值且最大值大于時,求的取值范圍.
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