Question

函數f（x）=

1-x2，x≤1 f(x-2)，x＞1

，若方程f（x）=mx恰有四個不同的實數根，則實數m的取值范圍為（　�。�

• A、（8-2

  15

  ，4-2

  3

  ）
• B、（4+2

  3

  ，8+2

  15

  ）
• C、（4-2

  3

  ，8+2

  15

  ）
• D、（8-2

  15

  ，4+2

  3

  ）

Answer 1

考點：分段函數的應用

專題：計算題,數形結合,函數的性質及應用

分析：通過x＞1是周期函數，畫出函數y=f（x）的圖象和函數y=mx的圖象，通過圖象觀察，考慮直線繞著原點旋轉，分析直線與1＜x＜3的圖象相切和3＜x＜5的圖象相切情況，求出此時的m的值，從而判斷滿足條件的實數m的取值范圍．

解答： 解：當1＜x≤3時，-1＜x-2≤1，f（x-2）=1-（x-2）²，即f（x）=1-（x-2）²，
當3＜x≤5時，-1＜x-4≤1，f（x-4）=1-（x-4）²，即f（x）=1-（x-4）²，
…
畫出函數y=f（x）的圖象和函數y=mx的圖象，

由

y=mx y=1-(x-2)2

消去y得，x²-（4-m）x+3=0，由判別式等于0，（4-m）²-12=0，m=4±2

3

，
檢驗m=4+2

3

時，x=-

3

不成立，故m=4-2

3

；
由

y=mx y=1-(x-4)2

消去y得，x²-（8-m）x+15=0，由判別式為0，（8-m）²-60=0，m=8±2

15

，
檢驗m=8+2

15

時，x=-

15

不成立，故m=8-2

15

．
故方程f（x）=mx恰有四個不同的實數根，則實數m的取值范圍為（8-2

15

，4-2

3

）．
故選A．

點評：本題考查函數的周期性及運用，考查方程的根的個數轉化為函數的圖象交點個數，注意通過圖象觀察，主要是直線旋轉與曲線的交點問題，屬于中檔題．