Question

18．已知函數(shù)f（x）=?lnx?，關(guān)于x的不等式f（x）-f（1）≥c（x-1）的解集為（0，+∞），則實數(shù)c的取值范圍是[-1，0]．

Answer 1

分析 不等式左邊可化為f（x），由此問題可轉(zhuǎn)化為當(dāng)函數(shù)y=f（x）的圖象在直線y=c（x-1）的上方時，x的范圍是（0，+∞），由圖象易得．

解答 解：∵f（1）=0，
∴不等式為：f（x）≥c（x-1），在同一個坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=f（x）和y=c（x-1）的圖象，如圖：
由題意可知，當(dāng)x＞0時，函數(shù)f（x）=|lnx|的圖象在直線y=c（x-1）的上方（可以有一交點），
顯然，當(dāng)c＞0時，不符合題意，
當(dāng)c≤0時，當(dāng)x≥1時，恒有f（x）≥c（x-1），
當(dāng)0＜x＜1時，f（x）=-lnx，
過點（1，0）作函數(shù)y=-lnx的切線，設(shè)切點為P（x₀，-lnx₀），
∵$y′=-\frac{1}{x}$，
∴切線斜率為-$-\frac{1}{{x}_{0}}$，
故切線方程為：$y+ln{x}_{0}=-\frac{1}{{x}_{0}}（x-{x}_{0}）$，
把點（1，0）代入方程得：x₀=1，
此時切線斜率為$-\frac{1}{{x}_{0}}=-1$，
由圖象可知，當(dāng)c≥-1時，有-lnx≥c（x-1）對任意的0＜x＜1恒成立，
綜上可得：-1≤c≤0．
故答案為：[-1，0]．

點評 本題考查對數(shù)函數(shù)的圖象和函數(shù)圖象的變換以及數(shù)形結(jié)合的思想方法，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義找到c的臨界值是解題關(guān)鍵，屬于中檔題．