Question

13．已知函數(shù)f（x）=x²-4|x|+3，x∈R．
（1）判斷函數(shù)的奇偶性并將函數(shù)寫(xiě)成分段函數(shù)的形式；
（2）畫(huà)出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象寫(xiě)出它的單調(diào)區(qū)間；
（3）若函數(shù)f（x）的圖象與y=a的圖象有四個(gè)不同交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由f（-x）=f（x）得函數(shù)為偶函數(shù)，對(duì)x分類(lèi)討論：x≥0，x＜0得分段函數(shù)的解析式；
（2）由分段函數(shù)分兩種情況作二次函數(shù)的圖象；
（3）由圖象可知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及值域．

解答 解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
且f（-x）=（-x）²-4|-x|+3=x²-4|x|+3=f（x），
故函數(shù)為偶函數(shù)．
f（x）=x²-4|x|+3=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x+3，x≥0}\\{{x}^{2}+4x+3，x＜0}\end{array}\right.$
（2）如圖，
單調(diào)增區(qū)間為：：[-2，0），[2，+∞），
單調(diào)減區(qū)間為（-∞，-2），[0，2]．
（3）由函數(shù)的圖象可知：函數(shù)f（x）的圖象與y=a的圖象有四個(gè)不同交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍：（-1，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的圖象及性質(zhì)．考查數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．