如圖,等邊三角形OAB的邊長為8,且其三個頂點(diǎn)均在拋物線E:x2=2py(p>0)上.

(1)求拋物線E的方程;

(2)設(shè)動直線l與拋物線E相切于點(diǎn)P,與直線y=-1相交于點(diǎn)Q,證明以PQ為直徑的圓恒過y軸上某定點(diǎn).

 

【答案】

(1) x2=4y (2)見解析

【解析】

(1)解:依題意,|OB|=8,∠BOy=30°.

設(shè)B(x,y),則x=|OB|sin 30°=4,

y=|OB|cos 30°=12.

因?yàn)辄c(diǎn)B(4,12)在x2=2py上,

所以(4)2=2p×12,解得p=2.

故拋物線E的方程為x2=4y.

(2)證明:由(1)知y=x2,y′=x.

設(shè)P(x0,y0),則x0≠0,y0=,且l的方程為

y-y0=x0(x-x0),即y=x0x-.

由得

所以Q為.

設(shè)M(0,y1),令·=0對滿足y0=(x0≠0)的x0,y0恒成立.

由于=(x0,y0-y1), =,

由·=0,

得-y0-y0y1+y1+=0,

即(+y1-2)+(1-y1)y0=0.(*)

由于(*)式對滿足y0=(x0≠0)的y0恒成立,

所以

解得y1=1.

故以PQ為直徑的圓恒過y軸上的定點(diǎn)M(0,1).

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，角θ的始邊OA落在ox軸上，其始邊、終邊與單位圓分別交于點(diǎn)A，C，θ∈（0，
π
2
），且△AOB為等邊三角形．若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（
13
5
，
2
3
5
），則cos∠BOC的值為
13
-6
10
13
-6
10
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，角θ的始邊OA落在ox軸上，其始邊、終邊與單位圓分別交于點(diǎn)A、C、θ∈（0，
π
2
），外△AOB為等邊三角形．
（Ⅰ）若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（
3
5
，
4
5
）．求cos∠BOC；
（Ⅱ）記f（θ）=|BC|2，求函數(shù)f（θ）的解析式和值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•嘉定區(qū)三模）如圖，角θ的始邊OA落在x上軸，其始邊、終邊分別與單位圓交于點(diǎn)A、C（0＜θ＜
π
2
），△AOB為等邊三角形．
（1）若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（
4
5
，
3
5
），求cos∠BOC的值；
（2）設(shè)f（θ）=|BC|2，求函數(shù)f（θ）的解析式和值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•嘉定區(qū)三模）如圖，設(shè)A、B是單位圓O上的動點(diǎn)，且A、B分別在第一、二象限．C是圓O與x軸正半軸的交點(diǎn)，△AOB為等邊三角形．記以O(shè)x軸正半軸為始邊，射線OA為終邊的角為θ．
（1）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（
3
5
，
4
5
），求
sin2θ+sin2θ
cos2θ+cos2θ
的值；
（2）設(shè)f（θ）=|BC|2，求函數(shù)f（θ）的解析式和值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012年人教B版高中數(shù)學(xué)必修5 1.2應(yīng)用舉例練習(xí)卷（解析版） 題型：解答題

半圓O的直徑為2，A為直徑延長線上的一點(diǎn)，且OA=2，B為半圓上任意一點(diǎn)，以AB為邊向外作等邊三角形（如圖），問B點(diǎn)在什么位置時，四邊形OACB的面積最大，并求出這個最大面積.

 

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