Question

3．等差數(shù)列{a_n}中，2a₁+3a₂=11，2a₃=a₂+a₆-4，其前n項和為S_n．
（Ⅰ） 求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ） 設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{1}{{S}_{n+1}-1}$，其前n項和為T_n，求證：T_n＜$\frac{3}{4}$（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，運(yùn)用等差數(shù)列的通項公式，解方程可得首項和公差，即可得到所求；
（Ⅱ）運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式，求得S_n=n²，b_n=$\frac{1}{{S}_{n+1}-1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），由數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，計算化簡，再由不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答 解：（Ⅰ） 設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
因為2a₁+3a₂=11，2a₃=a₂+a₆-4，
可得2a₁+3（a₁+d）=5a₁+3d=11，2（a₁+2d）=a₁+d+a₁+5d-4，
得d=2，a₁=1，
所以a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1．
（Ⅱ）證明：S_n=na₁+$\frac{1}{2}$n（n-1）d=n+$\frac{1}{2}$n（n-1）×2=n²，
b_n=$\frac{1}{{S}_{n+1}-1}$=$\frac{1}{（n+1）^{2}-1}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
前n項和為T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$--$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{3}{4}$-$\frac{3}{4}$（$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$）＜$\frac{3}{4}$．
即有T_n＜$\frac{3}{4}$（n∈N^*）．

點評 本題考查等差數(shù)列通項公式和求和公式的運(yùn)用，注意運(yùn)用方程思想，考查數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．