Question

【題目】已知f（x）是定義在R上的奇函數，當x≥0時f（x）=2x﹣x2 ，
（1）求f（x）的表達式；
（2）設0＜a＜b，當x∈[a，b]時，f（x）的值域為 ，求a，b的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設x＜0，可得﹣x＞0，

∵當x≥0時f（x）=2x﹣x2，

∴f（﹣x）=﹣2x﹣（﹣x）2=﹣2x﹣x2，

∵f（x）是定義在R上的奇函數，

∴f（﹣x）=﹣f（x），

∴f（﹣x）=﹣f（x）=﹣2x﹣x2，

∴f（x）=x2+2x

∴f（x）=

（2）解：∵0＜a＜b，當x∈[a，b]時，當x≥0時f（x）=2x﹣x2=﹣（x﹣1）2+1

f（x）在（0，1）上是增函數，在（1，+∞）上是減函數，

若0＜a＜b＜1，可得值域為[2a﹣a2，2b﹣b2]，

f（x）的值域為 ，∴ 解得a=b=1，（舍去）

若1＜a＜b，可得值域為[2b﹣b2，2a﹣a2]，f（x）的值域為 ，

∴ ，解得a=b=1，

若0＜a≤1≤b，可得x=1處取得最大值，f（x）max=f（1）=2﹣1=1，

最小值在x=a或x=b處取得，

∵當x∈[a，b]時，f（x）的值域為 ，

∴ =1，可得a=1，

若 =2a﹣a2，可得b=1（舍去）；

若 =2b﹣b2，化簡得（b﹣1）（b2﹣b﹣1）=0解得b1= ，b2= （舍去），

∴a=1，b=

【解析】（1）由題意設x＜0，得﹣x＞0利用已知的解析式求出f（﹣x）=﹣x2﹣2x，再由f（x）=﹣f（﹣x），求出f（x）時的解析式．（2）因為0＜a＜b，利用配方法，可以證明f（x）在x＞0時的單調性，需要分類討論，再對其進行求解；
【考點精析】本題主要考查了函數的定義域及其求法和函數的值域的相關知識點，需要掌握求函數的定義域時，一般遵循以下原則：①是整式時，定義域是全體實數;②是分式函數時，定義域是使分母不為零的一切實數;③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數的集合;④對數函數的真數大于零，當對數或指數函數的底數中含變量時，底數須大于零且不等于1,零（負）指數冪的底數不能為零；求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最�。ù螅�數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的才能正確解答此題．