已知雙曲線C:
x2
4
-y2=1
,F(xiàn)1,F(xiàn)2是它的兩個焦點.
(Ⅰ)求與C有共同漸近線且過點(2,
5
)的雙曲線方程;
(Ⅱ)設(shè)P是雙曲線C上一點,∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面積.
分析:(Ⅰ)設(shè)所求的雙曲線方程為
x2
4
-y2
,代點可得λ,進而可得方程;
(Ⅱ)由雙曲線的定義可得||PF1|-|PF2||=4,再由余弦定理可得|F1F2|2=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1||PF2|,代入數(shù)據(jù)|PF1||PF2|的值,代入面積公式可得.
解答:解:(Ⅰ)設(shè)與
x2
4
-y2=1
有共同漸近線的雙曲線方程為
x2
4
-y2
,
又所求雙曲線過點(2,
5
)
,
λ=
22
4
-(
5
)2=-4
,
故所求雙曲線方程為
x2
4
-y2=-4
,即
y2
4
-
x2
16
=1
;
(Ⅱ)由雙曲線的定義可得||PF1|-|PF2||=4,
由余弦定理可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos60°=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1||PF2|,
代入數(shù)據(jù)可得20=16+|PF1||PF2|,解得|PF1||PF2|=4
SF1PF2=
1
2
|PF1||PF2|sin60°
=
1
2
×4×
3
2
=
3
點評:本題考查雙曲線的簡單性質(zhì),涉及余弦定理和三角形的面積公式,屬中檔題.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知雙曲線C:
x24
-y2=1
,P為C上的任意點.
(1)求證:點P到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個常數(shù);
(2)設(shè)點A的坐標為(3,0),求|PA|的最小值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知雙曲線C:
x2
4
-
y2
5
=1
的右焦點為F,過F的直線l與C交于兩點A、B,若|AB|=5,則滿足條件的l的條數(shù)為
3
3

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2006•西城區(qū)一模)已知雙曲線C:
x2
4
-y2
=1,以C的右焦點為圓心且與其漸近線相切的圓方程為
(x-
5
2+y2=4,
(x-
5
2+y2=4,
,若動點A,B分別在雙曲線C的兩條漸近線上,且|AB|=2,則線段AB中點的軌跡方程為
16x2+y2=4
16x2+y2=4

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•南京二模)在平面直角坐標系xOy中,已知雙曲線C:
x2
4
-
y2
3
=1
.設(shè)過點M(0,1)的直線l與雙曲線C交于A、B兩點,若
AM
=2
MB
,則直線l的斜率為
±
1
2
±
1
2

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