已知雙曲線C:
x24
-y2=1
,P為C上的任意點.
(1)求證:點P到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個常數(shù);
(2)設(shè)點A的坐標(biāo)為(3,0),求|PA|的最小值.
分析:(1)先設(shè)P(x1,y1)是雙曲線上任意一點,再求出雙曲線的漸近線方程,根據(jù)點到線的距離公式分別表示出點P(x1,y1)到兩條漸近線的距離,然后兩距離再相乘整理即可得到答案.
(2)先設(shè)A的坐標(biāo)為(x,y),根據(jù)兩點間的距離公式表示出PA|2并根據(jù)雙曲線方程為
x2
4
-y2=1
,用x表示出y代入整理成二次函數(shù)的形式,即可得到|PA|的最小值.
解答:解:
(1)設(shè)P(x1,y1)是雙曲線上任意一點,
該雙曲的兩條漸近線方程分別是x-2y=0和x+2y=0.
點P(x1,y1)到兩條漸近線的距離分別是
|x1-2y1|
5
|x1+2y1|
5

它們的乘積是
|x1-2y1|
5
|x1+2y1|
5
=
|x12-4y12|
5
=
4
5

點P到雙曲線的兩條漸線的距離的乘積是一個常數(shù).
(2)設(shè)P的坐標(biāo)為(x,y),則|PA|2=(x-3)2+y2=(x-3)2+
x2
4
-1
=
5
4
(x-
12
5
)2+
4
5

∵|x|≥2,∴當(dāng)x=
12
5
時,|PA|2的最小值為
4
5
,
即|PA|的最小值為
2
5
5
點評:本題主要考查雙曲線的基本性質(zhì)--漸近線方程,考查點到線的距離公式和兩點間的距離公式.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知雙曲線C:
x2
4
-
y2
5
=1
的右焦點為F,過F的直線l與C交于兩點A、B,若|AB|=5,則滿足條件的l的條數(shù)為
3
3

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2006•西城區(qū)一模)已知雙曲線C:
x2
4
-y2
=1,以C的右焦點為圓心且與其漸近線相切的圓方程為
(x-
5
2+y2=4,
(x-
5
2+y2=4,
,若動點A,B分別在雙曲線C的兩條漸近線上,且|AB|=2,則線段AB中點的軌跡方程為
16x2+y2=4
16x2+y2=4

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•南京二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知雙曲線C:
x2
4
-
y2
3
=1
.設(shè)過點M(0,1)的直線l與雙曲線C交于A、B兩點,若
AM
=2
MB
,則直線l的斜率為
±
1
2
±
1
2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知雙曲線C:
x2
4
-y2=1
,F(xiàn)1,F(xiàn)2是它的兩個焦點.
(Ⅰ)求與C有共同漸近線且過點(2,
5
)的雙曲線方程;
(Ⅱ)設(shè)P是雙曲線C上一點,∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面積.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案