Question

18．已知直線L的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=2-2t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=$\frac{2}{\sqrt{1+3co{s}^{2}θ}}$．
（Ⅰ）直接寫出直線L的極坐標(biāo)方程和曲線C的普通方程；
（Ⅱ）過曲線C上任意一點(diǎn)P作與L夾角為$\frac{π}{3}$的直線l，設(shè)直線l與直線L的交點(diǎn)為A，求|PA|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三種方程的轉(zhuǎn)化方法，即可寫出直線L的極坐標(biāo)方程和曲線C的普通方程；
（Ⅱ）曲線C上任意一點(diǎn)P（cosθ，2sinθ）到l的距離為d=$\frac{1}{\sqrt{5}}$|2cosθ+2sinθ-6|．則|PA|=$\fracqxbz2ml{sin60°}$=$\frac{2}{\sqrt{15}}$|2$\sqrt{2}$sin（θ+45°）-6|，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出最值．

解答 解：（Ⅰ）直線L的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=2-2t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），普通方程為2x+y-6=0，極坐標(biāo)方程為2ρcosθ+ρsinθ-6=0，
曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=$\frac{2}{\sqrt{1+3co{s}^{2}θ}}$，即ρ²+3ρ²cos²θ=4，曲線C的普通方程為${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（Ⅱ）曲線C上任意一點(diǎn)P（cosθ，2sinθ）到l的距離為d=$\frac{1}{\sqrt{5}}$|2cosθ+2sinθ-6|．
則|PA|=$\fracdncr5r2{sin60°}$=$\frac{2}{\sqrt{15}}$|2$\sqrt{2}$sin（θ+45°）-6|，
當(dāng)sin（θ+45°）=-1時(shí)，|PA|取得最大值，最大值為$\frac{2\sqrt{15}}{15}•（2\sqrt{2}-6）$．

點(diǎn)評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、點(diǎn)到直線的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．