Question

6．已知函數(shù)f（x）=xlnx+a|x-1|．
（Ⅰ）當(dāng)a=0時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；
（Ⅱ）若f（x）有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由f（x）=xlnx，知f′（x）=1+lnx，x＞0，由此能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極小值、最小值；
（Ⅱ）由已知可得：f（1）=0，故1為函數(shù)的一個零點；對a進行分類討論，求出不同情況下，滿足條件的a值，綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答 解：（Ⅰ）∵a=0時，f（x）=xlnx，
∴f′（x）=1+lnx，x＞0，
∵f′（x）＞0解得x＞$\frac{1}{e}$，f′（x）＜0解得0＜x＜$\frac{1}{e}$，
∴函數(shù)f（x）的減區(qū)間為（0，$\frac{1}{e}$），增區(qū)間為（$\frac{1}{e}$，+∞），
f（x）在x=$\frac{1}{e}$取得極小值-$\frac{1}{e}$．
（Ⅱ）由已知可得：f（1）=0，故1為函數(shù)的一個零點；
若a=0，則函數(shù)僅有一個零點，不滿足條件；
若a＞0，則
當(dāng)x＞1時，f（x）=xlnx+ax-a，f′（x）=lnx+1+a＞0恒成立，此時函數(shù)為增函數(shù)，不存在零點，
當(dāng)0＜x＜1時，f（x）=xlnx-ax+a，f′（x）=lnx+1-a，若此時函數(shù)存在零點，則lnx+1-a=0有解，
即a=lnx+1＜1有解，即0＜a＜1；
若a＜0，則
當(dāng)0＜x＜1時，f（x）=xlnx-ax+a，f′（x）=lnx+1-a＞0恒成立，此時函數(shù)為增函數(shù)，不存在零點，
x＞1時，f（x）=xlnx+ax-a，f′（x）=lnx+1+a，若此時函數(shù)存在零點，則lnx+1+a=0有解，
即a=-（lnx+1）＜-1有解，即a＜-1；
綜上可得：0＜a＜1，或a＜-1．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和實數(shù)的取值范圍的方法，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．