Question

圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為5cm、10cm，母線長(zhǎng)AB=20cm，從圓臺(tái)母線AB的中點(diǎn)M拉一條繩子繞圓臺(tái)側(cè)面轉(zhuǎn)到A點(diǎn)（A在下底面），求：
（1）繩子的最短長(zhǎng)度；
（2）在繩子最短時(shí)，上底圓周上的點(diǎn)到繩子的最短距離．

Answer 1

分析：（1）由題意需要畫(huà)出圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖，并還原成圓錐展開(kāi)的扇形，則所求的最短距離是平面圖形兩點(diǎn)連線．
（2）根據(jù)條件求出扇形的圓心角以及半徑長(zhǎng)，在求出最短的距離．

解答：解：（1）畫(huà)出圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖，
并還原成圓錐展開(kāi)的扇形，且設(shè)扇形的圓心為O．
有圖得：所求的最短距離是MB'，
設(shè)OA=R，圓心角是α，則由題意知，
10π=αR  ①，20π=α（20+R）  ②，由①②解得，α=

π

2

，R=20，
∴OM=30，OB'=40，則MB'=50cm．
故繩子最短的長(zhǎng)度為：50cm．
（2）作OC垂直于B'M交于D，OC是頂點(diǎn)O到MB'的最短距離，
則DC是MB'與弧AA'的最短距離，DC=OC-OD=

OM•OB′

MB′

-20=4cm，
即繩子上各點(diǎn)與上底面圓周的最短距離是：4cm．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了在幾何體表面的最短距離的求出，一般方法是把幾何體的側(cè)面展開(kāi)后，根據(jù)題意作出最短距離即兩點(diǎn)連線，結(jié)合條件求出，考查了轉(zhuǎn)化思想．