Question

已知以1為首項(xiàng)的數(shù)列{a_n}滿足：an+1=

an+1 (n為奇數(shù)) an 2 (n為偶數(shù))

a₁=1，a₂=4，a_n+2+2a_n=3a_n+1（n∈N^*）．
（1）寫出a₂，a₃，a₄，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，求數(shù)列{s_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）分別令n=1，n=2，n=3再利用遞推關(guān)系式an+1=

an+1 (n為奇數(shù)) an 2 (n為偶數(shù))

即可求出a₂，a₃，a₄
（2）先結(jié)合數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式an=

3+(-1)n

2

的特征采用分組求和的方法來求前n項(xiàng)和s_n，再根據(jù)s_n的特征再用分組求和和等比數(shù)列的求和公式可求出數(shù)列{s_n}的前n項(xiàng)和T_n

解答：解：（1）由題意可得：a₁=1，a₂=4，a_n+2+2a_n=3a_n+1
所以a₂=2，a₃=1，a₄=2，an=

3+(-1)n

2

，
（2）∵sn=[

3

2

+ 

(-1)

2

]+″″′+[

3

2

+

(-1)n

2

]
∴Sn=

3n

2

+

1

2

•

-1[1-(-1)n]

2

=

3n

2

-

1

4

+

1

4

(-1)n
∴T_n=s₁+s₂+''''+s_n=

3

2

(1+ 2+″″+n)-

n

4

+

1

4

[(-1)+‘’‘+(-1)n]
∴Tn=

3

2

•

n(n+1)

2

-

1

4

n+

1

4

•

-[1-(-1)n]

1+1

=

3

4

n2+

1

2

n+

1

8

•(-1)n-

1

8

點(diǎn)評：此題第一問主要考查了利用數(shù)列的遞推關(guān)系式求數(shù)列值和通項(xiàng)公式，常用代入法求數(shù)列值但本題要注意n的奇偶性第二問采用分組求和和常見數(shù)列的求和公式來求較復(fù)雜數(shù)列的和，因此常見數(shù)列的求和公式要記牢！