Question

如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面，，，，．

（1）證明：平面；
（2）若是棱的中點(diǎn)，在棱上是否存在一點(diǎn)，使平面？證明你的結(jié)論．

Answer 1

（1）見解析.（2）當(dāng)點(diǎn)為棱的中點(diǎn)時(shí)，平面．證明見解析.

試題分析：（1）要證明線面垂直，須證明直線與平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，一般要遵循“先找再作”的原則，對(duì)圖形進(jìn)行細(xì)致分析是關(guān)鍵.注意到，得到．
由側(cè)棱底面，得到．從而得到平面．，
利用，得到．結(jié)合四邊形為正方形．
得到．推出平面．
（2）對(duì)于這類存在性問題，往往是先通過對(duì)圖形的分析，找“特殊點(diǎn)”，肯定其存在性，再加以證明.
注意到當(dāng)點(diǎn)為棱的中點(diǎn)時(shí)，取的中點(diǎn)，連、、，利用三角形相似，得到平面及平面，利用平面平面．推出平面．
試題解析：（1）∵，∴．
∵側(cè)棱底面，∴．
∵，∴平面．
∵平面，∴，
∵，則．                                     4分
在中，，，∴．
∵，∴四邊形為正方形．
∴．                                                  6分
∵，∴平面．                           7分
（2）當(dāng)點(diǎn)為棱的中點(diǎn)時(shí)，平面．                  9分
證明如下：
如圖，取的中點(diǎn)，連、、，

∵、、分別為、、的中點(diǎn)，
∴．
∵平面，平面，
∴平面．　　　　                11分
同理可證平面．                   12分
∵，
∴平面平面．                   13分
∵平面，
∴平面．                          14分