Question

17．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面ABB₁A₁為矩形，AB=2，AA₁=2$\sqrt{2}$，D是AA₁的中點(diǎn)，BD與AB₁交于點(diǎn)O，且OC⊥平面ABB₁A₁．
（Ⅰ）證明：平面AB₁C⊥平面BCD；
（Ⅱ）若G為B₁C上的一點(diǎn)，A₁G∥平面BCD，證明：G為B₁C的中點(diǎn)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過證明△ABD∽△ABB₁，轉(zhuǎn)化證明AB₁⊥BD，推出AB₁⊥OC，即可證明AB₁⊥平面BCD，然后證明平面AB₁C⊥平面BCD．
（Ⅱ） 作A₁K∥BD交BB₁于K，連結(jié)KG，說明A₁K∥平面BCD，推出平面A₁KG∥平面BCD，證明BC∥KG，說明A₁KBD為平行四邊形，推出K為BB₁的中點(diǎn)，得到G為B₁C的中點(diǎn)．

解答 （本小題滿分12分）
證明：（Ⅰ）∵ABB₁A₁為矩形，AB=2，$A{A_1}=2\sqrt{2}$，D是AA₁的中點(diǎn)，
∴∠BAD=90°，$∠AB{B_1}={90^0}$，$B{B_1}=2\sqrt{2}$，$AD=\frac{1}{2}A{A_1}=\sqrt{2}$
從而△ABD∽△ABB₁，

∴∠ABD=∠AB₁B…（2分）
∴$∠A{B_1}B+∠BA{B_1}=∠ABD+∠BA{B_1}=\frac{π}{2}$，∴$∠AOB=\frac{π}{2}$，從而AB₁⊥BD…（4分）
∵OC⊥平面ABB₁A₁，AB₁?平面ABB₁A₁，∴AB₁⊥OC，
∵BD∩OC=O，∴AB₁⊥平面BCD，
∵AB₁?平面AB₁C，∴平面AB₁C⊥平面BCD…（6分）
（Ⅱ） 作A₁K∥BD交BB₁于K，連結(jié)KG，
∵A₁K?平面BCD，BD?平面BCD，∴A₁K∥平面BCD，
又A₁G∥平面BCD，A₁K∩A₁G=A₁
∴平面A₁KG∥平面BCD，…（8分）
∵平面BB₁C∩平面BCD=BC，平面BB₁C∩平面A₁KG=KG，∴BC∥KG…（10分）
在矩形ABB₁A₁中，∵AA₁∥BB₁，AA₁=BB₁
∴A₁KBD為平行四邊形，
從而$BK={A_1}D=\frac{1}{2}A{A_1}=\frac{1}{2}B{B_1}$，∴K為BB₁的中點(diǎn)，
∴G為B₁C的中點(diǎn)．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及邏輯推理能力．