Question

6．已知函數(shù)f（x）=（x-1）e^x-$\frac{1}{2}$ax²（a∈R），這里e是自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）試討論f（x）在區(qū)間（a-1，+∞）上是否存在極小值點？若存在，請求出極小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）通過討論a的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極小值即可．

解答 解：（1）f′（x）=x（e^x-a），
①a≤0時，e^x-a＞0，
令f′（x）＞0，解得：x＞0，
令f′（x）＜0，解得：x＜0，
故f（x）在（-∞，0）遞減，在（0，+∞）遞增；
②a＞1時，令e^x=a，解得：x=lna，則lna＞0，
令f′（x）＞0，解得：x＞lna或x＜0，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜lna，
故f（x）在（-∞，0）遞增，在（0，lna）遞減，在（lna，+∞）遞增；
③a=1時，f′（x）≥0，f（x）在R遞增；
④0＜a＜1時，lna＜0，
令f′（x）＞0，解得：x＞0或x＜lna，
令f′（x）＜0，解得：lna＜x＜0，
故f（x）在（-∞，lna）遞增，在（lna，0）遞減，在（0，+∞）遞增；
（2）由（1）a≤0時，a-1≤-1，f（x）_極小值=f（0）=-1；
a＞1時，a-1＞0，f（x）在（a-1，lna）遞減，在（lna，+∞）遞增，
∴f（x）_極小值=f（lna）=alna-a-$\frac{1}{2}$aln²a；
a=1時，f（x）在（a-1，+∞）遞增，無極小值點；
0＜a＜1時，-1＜a-1＜0，
f（x）在（a-1，0）遞減，在（0，+∞）遞增，
故f（x）_極小值=f（0）=-1．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．