Question

19．已知數(shù)列{a_n}滿足${a_1}=3，{a_{n+1}}={a_n}+2（n∈{N^*}）$，其前n項(xiàng)和為S_n，則$\frac{{4{S_n}+39}}{{4{a_n}}}$的最小值為（　　）

• A． $\frac{7}{2}$
• B． $\frac{99}{28}$
• C． $\frac{71}{20}$
• D． $\frac{51}{12}$

Answer 1

分析 利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式可得a_n，S_n，再利用基本不等式的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：數(shù)列{a_n}滿足${a_1}=3，{a_{n+1}}={a_n}+2（n∈{N^*}）$，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，公差為2，首項(xiàng)為3．
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1．
前n項(xiàng)和為S_n=$\frac{n（3+2n+1）}{2}$=n²+2n．
則$\frac{{4{S_n}+39}}{{4{a_n}}}$=$\frac{4{n}^{2}+8n+39}{4（2n+1）}$=$\frac{1}{4}$$（2n+1+\frac{36}{2n+1}+2）$≥$\frac{1}{4}（2\sqrt{（2n+1）•\frac{36}{（2n+1）}}+2）$，由2n+1=6，解得n=$\frac{5}{2}$．
∴n=2時(shí)，$\frac{{4{S_n}+39}}{{4{a_n}}}$=$\frac{71}{20}$，
n=3時(shí)，$\frac{{4{S_n}+39}}{{4{a_n}}}$=$\frac{99}{28}$．∵$\frac{99}{28}$＜$\frac{71}{20}$，∴最小值為$\frac{99}{28}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、基本不等式的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．